Z/nZ が体になる条件

系 5.5（「環と体の基礎」§5）・ ✓公理まで証明済み

$n \ge 2$ を整数とする。次の三条件は同値である。

(i) $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ は体である。

(ii) $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ は整域である。

(iii) $n$ は素数である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 8 件、定義なども含めて 10 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

体は整域✓定理 5.2・環と体の基礎
- 体定義 5.1・環と体の基礎
- 環の基本計算則✓命題 3.3・環と体の基礎
剰余環 Z/nZ は可換環である✓補題 3.5・環と体の基礎
ユークリッドの補題✓補題 2.3・合同式とフェルマーの小定理
- ベズーの等式✓定理 2.2・合同式とフェルマーの小定理
  - 除法の原理✓定理 2.1・合同式とフェルマーの小定理
    整列性公理 3.1・証明の技術
有限整域は体✓定理 5.3・環と体の基礎
- 整域と消去律✓命題 4.4・環と体の基礎
  - 環の基本計算則✓命題 3.3・環と体の基礎