長さ 4 の閉路を含まないグラフ

命題 4.3（「極値グラフ理論と Ramsey 理論」§4）・ ✓公理まで証明済み

$C_4$ を含まない $n$ 頂点グラフの辺の数 $m$ は $m\le\dfrac n4\bigl(1+\sqrt{4n-3}\bigr)$ を満たす。
素数 $p$ に対し、頂点 $2p^2$ 個、辺 $p^3$ 本の、 $C_4$ を含まない二部グラフが存在する。したがって $\operatorname{ex}(2p^2,C_4)\ge p^3$ である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 16 件、定義なども含めて 19 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Mantel の定理✓定理 3.3・極値グラフ理論と Ramsey 理論
- 握手補題✓補題 2.2・道・閉路・木
- Cauchy–Schwarz の不等式（実数の列）✓定理 4.1・式と証明（上で展開済み）
Cauchy–Schwarz の不等式（実数の列）✓定理 4.1・式と証明
- 判別式で示す不等式✓命題 7.2・2 次関数
  - 平方完成✓補題 3.1・2 次関数（上で展開済み）
- 平方完成✓補題 3.1・2 次関数
  - 実数の計算規則✓命題 2.2・数と式
    一次方程式の可解性✓命題 7.1・数とは何かこの先をたどる →
Z/nZ が体になる条件✓系 5.5・環と体の基礎
- 体は整域✓定理 5.2・環と体の基礎
  - 体定義 5.1・環と体の基礎
  - 環の基本計算則✓命題 3.3・環と体の基礎
- 剰余環 Z/nZ は可換環である✓補題 3.5・環と体の基礎
- ユークリッドの補題✓補題 2.3・合同式とフェルマーの小定理
  - ベズーの等式✓定理 2.2・合同式とフェルマーの小定理
    除法の原理✓定理 2.1・合同式とフェルマーの小定理この先をたどる →
- 有限整域は体✓定理 5.3・環と体の基礎
  - 整域と消去律✓命題 4.4・環と体の基礎
    環の基本計算則✓命題 3.3・環と体の基礎

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。