物理学 › 電磁気学 › マクスウェル方程式と電磁波

積分形と微分形の同値性

定理 3.3（「マクスウェル方程式と電磁波」§3） ・ ✓公理まで証明済み

定義 3.1 と同じ設定（E,B\boldsymbol{E},\boldsymbol{B} は Ω×I\Omega\times I 上 C1C^1 級、ρ\rho と J\boldsymbol{J} は連続、さらに ∂E/∂t, ∂B/∂t\partial\boldsymbol{E}/\partial t,\ \partial\boldsymbol{B}/\partial t は連続）のもとで、次の 2 つは同値である。

（a）Ω×I\Omega\times I の各点で (M1)–(M4) が成り立つ。

（b）Ω\Omega に含まれ時間に依存しない任意の閉領域 VV（境界 ∂V\partial V は区分的に滑らかな閉曲面、外向き法線）と、Ω\Omega に含まれ時間に依存しない任意の区分的に滑らかな向き付き有界曲面 SS（境界 ∂S\partial S は区分的に滑らかな閉曲線）について、すべての t∈It\in I で

(I1)∮∂VE⋅n dS=1ε0∫Vρ dV(I2)∮∂VB⋅n dS=0(I3)∮∂SE⋅dl=−ddt∫SB⋅n dS(I4)∮∂SB⋅dl=μ0∫SJ⋅n dS+ε0μ0ddt∫SE⋅n dS\begin{aligned} \text{(I1)}&\quad \oint_{\partial V}\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{n}\,dS = \frac{1}{\varepsilon_0}\int_V \rho\, dV \\ \text{(I2)}&\quad \oint_{\partial V}\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{n}\,dS = 0 \\ \text{(I3)}&\quad \oint_{\partial S}\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{l} = -\frac{d}{dt}\int_S \boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{n}\,dS \\ \text{(I4)}&\quad \oint_{\partial S}\boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{l} = \mu_0\int_S \boldsymbol{J}\cdot\boldsymbol{n}\,dS + \varepsilon_0\mu_0\frac{d}{dt}\int_S \boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{n}\,dS \end{aligned}

が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 119 件、定義なども含めて 144 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件