グラフ曲面の面積要素と流束

$\psi$ を $D\subset\mathbb{R}^2$ を含む開集合上の $C^1$ 級関数とし、グラフ $S=\{z=\psi(x,y),\ (x,y)\in D\}$ を $\boldsymbol r(x,y)=(x,y,\psi(x,y))$ で表す。このとき $\boldsymbol r_x\times\boldsymbol r_y=(-\psi_x,-\psi_y,1)$ で、$S$ の面積は $\iint_D\sqrt{1+\psi_x^2+\psi_y^2}\,dx\,dy$、上向き（$\boldsymbol r_x\times\boldsymbol r_y$ の向き）の流束は $\boldsymbol F=(P,Q,R)$ に対し $\iint_D(-P\psi_x-Q\psi_y+R)\,dx\,dy$ である。ここで $P,Q,R$ は $(x,y,\psi(x,y))$ での値とする。