面積分

$\boldsymbol r:D\to\mathbb{R}^3$ を曲面片 $S=\boldsymbol r(D)$ のパラメータ表示とし、$f$ を $S$ 上の連続なスカラー場、$\boldsymbol F$ を $S$ 上の連続なベクトル場とします。面積要素を $dS=\|\boldsymbol r_u\times\boldsymbol r_v\|\,du\,dv$ として

と定めます。$f=1$ のとき $S$ の面積です。ベクトル場の**面積分（流束）**は、$\boldsymbol n$ を向き付けの単位法線として

で定めます（$\boldsymbol n\,\|\boldsymbol r_u\times\boldsymbol r_v\|=\boldsymbol r_u\times\boldsymbol r_v$ に注意）。これを $\iint_S\boldsymbol F\cdot d\boldsymbol S$ とも書きます。