物理学 › 格子フェルミオンの多体理論 › 朝永–Luttinger 模型とボソン化有料章

Lieb–Mattis の厳密解

定理 4.3（「朝永–Luttinger 模型とボソン化」§4） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 135 件、定義なども含めて 157 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• ボソンによる表示✓補題 4.2・朝永–Luttinger 模型とボソン化

  • 密度ゆらぎの異常交換関係✓定理 5.2・spin-boson・Kondo・共鳴準位模型
  • 構成的ボソン化と Kronig の恒等式✓定理 5.4・spin-boson・Kondo・共鳴準位模型

    • Frobenius 座標✓補題 5.3・spin-boson・Kondo・共鳴準位模型
    • 密度ゆらぎの異常交換関係✓定理 5.2・spin-boson・Kondo・共鳴準位模型
• Bogoliubov 変換定義 3.1・Bogoliubov 変換と Shale の定理
• Shale の定理✓定理 4.2・Bogoliubov 変換と Shale の定理

  • 真空ベクトル定義 5.1・CCR の表現
  • CCR を保つ条件✓命題 3.2・Bogoliubov 変換と Shale の定理

    • 正準交換関係✓定理 5.2・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
  • 2 粒子ベクトルと Hilbert–Schmidt 作用素✓補題 2.2・Bogoliubov 変換と Shale の定理
  • V が Hilbert–Schmidt のときの標準形✓補題 4.1・Bogoliubov 変換と Shale の定理

    • Hilbert–Schmidt 作用素の性質✓命題 6.3・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス この先をたどる →
    • Hilbert–Schmidt の定理✓定理 4.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス この先をたどる →
    • CCR を保つ条件✓命題 3.2・Bogoliubov 変換と Shale の定理（上で展開済み）
    • Hilbert–Schmidt ノルムの基底によらなさ✓命題 6.1・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス

      • 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定 この先をたどる →
  • 占有数の基底✓補題 4.8・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素

    • n 粒子空間の正規直交基底✓定理 4.1・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間 この先をたどる →
    • 生成・消滅作用素の閉性と共役関係✓定理 4.3・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素（上で展開済み）
    • 部分内積の性質✓補題 4.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
    • $S_n$ と $A_n$ は直交射影✓定理 3.4・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間 この先をたどる →
  • 数作用素の基本性質✓命題 3.3・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素

    • 成分ごとの作用素の閉性と共役✓補題 2.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
    • 関数計算定義 6.1・スペクトル定理と関数計算
  • Segal 場の基本性質✓命題 3.4・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態

    • f についての反線形性と線形性✓命題 4.5・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素（上で展開済み）
    • 数作用素による相対評価✓定理 6.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素（上で展開済み）
    • 正準交換関係✓定理 5.2・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
    • Γ と生成・消滅作用素✓命題 3.3・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A) この先をたどる →
    • dΓ(A) の自己共役性と $Γ(e^{itA})$✓定理 4.2・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A) この先をたどる →
  • f についての反線形性と線形性✓命題 4.5・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素

    • 部分内積の性質✓補題 4.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
  • 数作用素による相対評価✓定理 6.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素

    • 部分内積の性質✓補題 4.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
    • 数作用素の基本性質✓命題 3.3・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素（上で展開済み）
  • 生成・消滅作用素の閉性と共役関係✓定理 4.3・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素

    • 部分内積の性質✓補題 4.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
    • 成分ごとの作用素の閉性と共役✓補題 2.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
    • 可閉性と共役の稠密性✓定理 5.5・非有界作用素 この先をたどる →
  • 真空ベクトルは Fock 表現を生成する✓命題 5.3・CCR の表現

    • 真空ベクトルの母関数✓補題 5.2・CCR の表現 この先をたどる →
  • Fock 表現の既約性✓定理 7.1・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態

    • 真空の一意性✓命題 7.3・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
    • 自己共役作用素はユニタリ群で決まる✓補題 2.2・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A) この先をたどる →
    • Segal 場の基本性質✓命題 3.4・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態（上で展開済み）
    • 部分内積の性質✓補題 4.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
    • 消滅作用素と生成作用素定義 4.2・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素
    • 真空に Weyl 作用素を施したベクトル✓定理 6.2・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態 この先をたどる →
    • 指数ベクトル✓補題 6.1・Segal 場・Weyl 作用素・コヒーレント状態 この先をたどる →

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

• Luttinger 液体の関係式と和則✓系 5.2・朝永–Luttinger 模型とボソン化
• 運動量分布の母関数✓定理 6.3・朝永–Luttinger 模型とボソン化

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