分裂する完全三角形

命題 4.4（「三角圏とホモトピー圏の三角構造」§4）・ ✓公理まで証明済み

$\mathcal{D}$ が三角圏（より一般に (P) を満たす）とし、 $T = (X, Y, Z, u, v, w)$ を完全三角形とする。

次は同値である。(a) $w = 0$ 。(b) $u$ はレトラクションをもつ（ $r u = 1_X$ となる $r$ がある）。(c) $v$ は切断をもつ（ $v s = 1_Z$ となる $s$ がある）。
これらが成り立つとき、射 $r'\colon Y \to X$ と $s\colon Z \to Y$ で $(Y, u, s, r', v)$ が $X, Z$ の双積になる（ $r' u = 1$ 、 $v s = 1$ 、 $u r' + s v = 1$ 、 $v u = 0$ 、 $r' s = 0$ ）ものがある。
任意の $X, Z$ について、双積の包含と射影による $X \xrightarrow{\iota_1} X \oplus Z \xrightarrow{\pi_2} Z \xrightarrow{0} X[1]$ は完全三角形である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 19 件、定義なども含めて 21 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Hom の完全性✓命題 3.2・三角圏とホモトピー圏の三角構造
- 完全三角形の基本性質✓命題 3.1・三角圏とホモトピー圏の三角構造
完全三角形の基本性質✓命題 3.1・三角圏とホモトピー圏の三角構造
双積定義 3.2・加法圏とアーベル圏
完全三角形の直和✓命題 4.3・三角圏とホモトピー圏の三角構造
- 加法関手と双積✓命題 3.7・加法圏とアーベル圏
  - 有限積・有限余積・双積の一致✓命題 3.3・加法圏とアーベル圏
  - 加法の一意性✓命題 3.6・加法圏とアーベル圏
    有限積・有限余積・双積の一致✓命題 3.3・加法圏とアーベル圏
    始対象・終対象の一意性✓命題 3.10・圏・関手・自然変換
- 有限積・有限余積・双積の一致✓命題 3.3・加法圏とアーベル圏
- Hom の完全性✓命題 3.2・三角圏とホモトピー圏の三角構造（上で展開済み）
- Hom による五項補題✓補題 3.3・三角圏とホモトピー圏の三角構造
  - 加群の圏はアーベル圏✓命題 4.6・加法圏とアーベル圏
    核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
    加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏
    像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
    アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
    双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
    加群の圏はアーベル圏✓命題 4.6・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 五項補題✓系 7.2・加法圏とアーベル圏
    元による図式追跡の規則✓定理 6.3・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
    双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
    完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
    アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏この先をたどる →

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大域次元 1 以下での対象の分類✓命題 7.1・導来圏と全導来関手

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