Hom の完全性

命題 3.2（「三角圏とホモトピー圏の三角構造」§3）・ ✓公理まで証明済み

$\mathcal{D}$ が (P) を満たすとし、 $T = (X, Y, Z, u, v, w)$ を完全三角形、 $W$ を対象とする。次のアーベル群の列は完全である。

$\operatorname{Hom}(W, X) \xrightarrow{u_*} \operatorname{Hom}(W, Y) \xrightarrow{v_*} \operatorname{Hom}(W, Z)$ 。
$\operatorname{Hom}(Z, W) \xrightarrow{v^*} \operatorname{Hom}(Y, W) \xrightarrow{u^*} \operatorname{Hom}(X, W)$ 。
$\operatorname{Hom}(W, X) \xrightarrow{u_*} \operatorname{Hom}(W, Y) \xrightarrow{v_*} \operatorname{Hom}(W, Z) \xrightarrow{w_*} \operatorname{Hom}(W, X[1]) \xrightarrow{u[1]_*} \operatorname{Hom}(W, Y[1])$ 。
$\operatorname{Hom}(Y[1], W) \xrightarrow{u[1]^*} \operatorname{Hom}(X[1], W) \xrightarrow{w^*} \operatorname{Hom}(Z, W) \xrightarrow{v^*} \operatorname{Hom}(Y, W) \xrightarrow{u^*} \operatorname{Hom}(X, W)$ 。

ここで $u_* = u \circ -$ 、 $u^* = - \circ u$ である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 1 件、定義なども含めて 1 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。