選点法の解と Galerkin 解の差

定理 6.3（「スペクトル法」§6）・ ✓公理まで証明済み

$c$ を $C^1$ 級、 $f$ を連続とし、 $\gamma = \max(\|c\|_\infty, \|c'\|_\infty)$ 、 $N_0 = 4\sqrt{10}\,\gamma/\alpha$ とおく。 $N = 2K + 1 \ge N_0$ のとき、選点法の解 $u_N^{c}$ はただ 1 つ存在し、Galerkin 解 $u_N$ との差は

\alpha\,\|u_N^{c} - u_N\|_{H^1} \le \bigl\|(1 - I_N)(cu_N^{c} - f)\bigr\|

を満たす（右辺は $cu_N^{c}$ と $f$ の折り返しを含む補間誤差である）。さらに弱解 $u$ が $s \gt 5/2$ について $H^s_{\mathrm{per}}$ に属するなら

\|u - u_N^{c}\|_{H^1} \le 2\|u - u_N\|_{H^1} + \frac{2}{\alpha}(1 + 2Z_{s-2})^{1/2}\Bigl(\frac2N\Bigr)^{s-2}|u|_{H^s}

である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 89 件、定義なども含めて 104 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

指標の離散的な直交性と補間の一意性✓補題 3.2・スペクトル法
三角補間の誤差✓定理 3.4・スペクトル法
- Fourier 係数が絶対総和可能な関数✓補題 2.2・スペクトル法（上で展開済み）
- 折り返しの公式✓補題 3.3・スペクトル法
  - Fourier 係数が絶対総和可能な関数✓補題 2.2・スペクトル法（上で展開済み）
  - 指標の離散的な直交性と補間の一意性✓補題 3.2・スペクトル法
- Parseval の等式✓定理 5.1・フーリエ級数
  - Fejér の定理の帰結✓系 4.3・フーリエ級数
    Fejér の定理✓定理 4.2・フーリエ級数この先をたどる →
  - 正規直交基底の特徴づけ（パーセバルの等式）✓定理 6.4・Hilbert 空間の基礎
    二重直交補空間と稠密性の判定✓系 3.7・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
    ベッセルの不等式✓定理 6.2・Hilbert 空間の基礎
    命題 3.2✓Hilbert 空間の基礎
- Fourier 切断の誤差✓定理 2.3・スペクトル法
- コーシー・シュワルツの不等式と三角不等式✓命題 2.2・Hilbert 空間の基礎
Fourier 係数が絶対総和可能な関数✓補題 2.2・スペクトル法
- ワイエルシュトラスの M 判定法✓系 6.4・関数列と一様収束
  - 一様収束のコーシー判定法✓定理 6.2・関数列と一様収束
    一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
    一様コーシー列定義 6.1・関数列と一様収束
    実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
- 一様収束極限の連続性✓定理 4.1・関数列と一様収束
  - 一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
- 項別積分（極限と積分の交換）✓定理 5.2・関数列と一様収束
  - 一様収束の上限判定法✓命題 3.4・関数列と一様収束
    一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
  - リーマンの可積分条件✓定理 3.4・積分の基本定理と定積分
    上積分・下積分とリーマン可積分性定義 3.1・積分の基本定理と定積分
    細分による単調性✓補題 2.3・積分の基本定理と定積分
- Parseval の等式✓定理 5.1・フーリエ級数（上で展開済み）
- コーシー・シュワルツの不等式と三角不等式✓命題 2.2・Hilbert 空間の基礎

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

選点法の解と Galerkin 解の差

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）