Lyapunov の安定性定理

定理 3.1（「安定性・力学系・特性曲線法」§3）・ ✓公理まで証明済み

$f(0)=0$ とし、 $0$ の近傍 $N\subset U$ 上の $C^1$ 級関数 $V$ が $V(0)=0$ 、 $x\ne0$ で $V(x)>0$ （正定値）を満たすとする。 $\dot V(x):=\nabla V(x)\cdot f(x)$ （解に沿った $V$ の微分）について

$N$ 上で $\dot V\le0$ なら、 $0$ は安定である。
$N$ 上で $x\ne0$ なら $\dot V<0$ ならば、 $0$ は漸近安定である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 33 件、定義なども含めて 45 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

最大解は端点でコンパクト集合から脱出する✓定理 6.1・解の存在と一意性
- C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性
  - ベクトル値関数の平均値不等式✓補題 2.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
- Picard–Lindelöf の定理✓定理 4.1・解の存在と一意性
  - 一様収束のコーシー判定法✓定理 6.2・関数列と一様収束
    一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
    一様コーシー列定義 6.1・関数列と一様収束
    実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - 一様収束極限の連続性✓定理 4.1・関数列と一様収束
    一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
  - 縮小写像の原理（Banach の不動点定理）✓定理 6.2・距離空間
  - 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性
    微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
    微分積分学の基本定理（第一部）✓定理 5.2・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
- 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性
  - 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
  - 積分のノルム✓補題 2.1・解の存在と一意性
  - Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性
    導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 1 件

線形化による安定性の判定✓定理 4.2・安定性・力学系・特性曲線法

Lyapunov の安定性定理

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

関連するノック 3 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件