数学 › 数値解析の基礎 › 非線形方程式の反復解法

多変数の Newton 法の局所 2 次収束

定理 7.3（「非線形方程式の反復解法」§7） ・ ✓公理まで証明済み

U⊂RnU \subset \mathbb{R}^n を開集合、F:U→RnF : U \to \mathbb{R}^n を全微分可能、x∗∈Ux^* \in U で F(x∗)=0F(x^*) = 0、J(x∗)J(x^*) は正則とし、β=∥J(x∗)−1∥\beta = \|J(x^*)^{-1}\| とおく。r>0r \gt 0 と γ>0\gamma \gt 0 が Bˉ(x∗,r)⊂U\bar B(x^*, r) \subset U と

∥J(x)−J(y)∥≤γ∥x−y∥(x,y∈Bˉ(x∗,r))\|J(x) - J(y)\| \le \gamma\|x - y\| \qquad (x, y \in \bar B(x^*, r))

を満たすとし、ρ=min⁡(r,1/(2βγ))\rho = \min(r, 1/(2\beta\gamma)) とする。このとき ∥x0−x∗∥≤ρ\|x_0 - x^*\| \le \rho なら Newton 法の列は定義されて Bˉ(x∗,ρ)\bar B(x^*, \rho) にとどまり、ek=xk−x∗e_k = x_k - x^* について

∥ek+1∥≤βγ∥ek∥2,βγ∥ek∥≤(βγ∥e0∥)2k≤2−2k\|e_{k+1}\| \le \beta\gamma\|e_k\|^2, \qquad \beta\gamma\|e_k\| \le (\beta\gamma\|e_0\|)^{2^k} \le 2^{-2^k}

が成り立つ。とくに xk→x∗x_k \to x^* である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 33 件、定義なども含めて 39 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。