Hadamard の三円定理

定理 9.4（「Jensen の公式と劣調和関数」§9）・ ✓公理まで証明済み

$0<r_1<r_2$ とし、 $f$ を閉円環 $\{r_1\le|z|\le r_2\}$ を含む円環領域上の正則関数で、恒等的には $0$ でないものとする。 $M(r)=\max_{|z|=r}|f(z)|$ とすると、 $r_1\le r\le r_2$ で

\log M(r)\le\frac{\log(r_2/r)}{\log(r_2/r_1)}\log M(r_1)+\frac{\log(r/r_1)}{\log(r_2/r_1)}\log M(r_2)

である。すなわち $\log M(e^{t})$ は $t=\log r$ の凸関数である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 73 件、定義なども含めて 88 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

一致の定理✓定理 7.3・正則関数の強力な性質
- 零点の孤立性✓補題 7.2・正則関数の強力な性質
  - テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
- 正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質
  - コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質
    コーシー型積分の微分✓補題 3.1・正則関数の強力な性質
- テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質
  - 一様収束する級数の項別積分✓補題 2.2・正則関数の強力な性質
  - コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
  - コーシーの評価式✓命題 4.1・正則関数の強力な性質
    コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
$\log|f|$ の劣調和性✓定理 6.2・Jensen の公式と劣調和関数
- 零点のない正則関数の $\log|g|$ ✓補題 6.1・Jensen の公式と劣調和関数
  - 単連結領域定義 5.2・等角写像とリーマン写像定理
  - 実部・虚部は調和関数✓系 5.7・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    正則性の特徴づけ✓定理 5.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
    シュワルツの定理（偏微分の順序交換）✓定理 7.1・多変数関数の微分と偏微分この先をたどる →
- 調和関数の平均値の性質✓系 3.3・調和関数と Poisson 積分
  - 円板上の調和共役✓命題 3.2・調和関数と Poisson 積分
    コーシー・リーマンの関係式（十分性）✓定理 5.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
    単連結領域定義 5.2・等角写像とリーマン写像定理
  - 実部・虚部は調和関数✓系 5.7・正則関数とコーシー・リーマンの関係式（上で展開済み）
  - 正則関数の平均値の性質✓系 6.5・コーシーの積分定理と積分公式
    コーシーの積分公式✓定理 6.1・コーシーの積分定理と積分公式この先をたどる →
劣調和関数の演算✓補題 3.2・Jensen の公式と劣調和関数
- 調和関数の平均値の性質✓系 3.3・調和関数と Poisson 積分（上で展開済み）
劣調和関数の最大値原理✓定理 4.1・Jensen の公式と劣調和関数

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

Hadamard の三円定理

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）