情報科学 › 研究のための計算の実務 › 精度の選び方

差と和で失う桁数

命題 4.2（「精度の選び方」§4） ・ ✓公理まで証明済み

  1. （差）a≠ba\ne b を実数、a^=a(1+α)\hat a=a(1+\alpha), b^=b(1+β)\hat b=b(1+\beta), ∣α∣,∣β∣≤ε|\alpha|,|\beta|\le\varepsilon とする。a^−b^\hat a-\hat b の相対誤差は ε⋅∣a∣+∣b∣∣a−b∣\varepsilon\cdot\dfrac{|a|+|b|}{|a-b|} 以下で、a,b>0a,b\gt0 のときこの値をとりうる。したがって、有効桁は入力に比べて高々 log⁡10∣a∣+∣b∣∣a−b∣\log_{10}\frac{|a|+|b|}{|a-b|} 桁減る。
  2. （和）x1,…,xnx_1,\ldots,x_n を実数、s=∑ixi≠0s=\sum_ix_i\ne0、x^i=xi(1+εi)\hat x_i=x_i(1+\varepsilon_i), ∣εi∣≤ε|\varepsilon_i|\le\varepsilon とする。∑ix^i\sum_i\hat x_i の相対誤差は ε⋅∑i∣xi∣∣s∣\varepsilon\cdot\dfrac{\sum_i|x_i|}{|s|} 以下で、εi=ε sgn(xi)\varepsilon_i=\varepsilon\,\mathrm{sgn}(x_i) のとき等号が成り立つ。失う桁数は高々 log⁡10(∑i∣xi∣/∣s∣)\log_{10}\bigl(\sum_i|x_i|/|s|\bigr) である。
  3. （交代級数）x>0x\gt0 とし、e−xe^{-x} を級数 ∑k≥0tk\sum_{k\ge0}t_k, tk=(−x)k/k!t_k=(-x)^k/k! の部分和 SN=∑k=0NtkS_N=\sum_{k=0}^Nt_k で計算する。2 の倍率 AN=∑k=0N∣tk∣/∣SN∣A_N=\sum_{k=0}^N|t_k|/|S_N| は N→∞N\to\infty で e2xe^{2x} に収束する。失う桁数は log⁡10e2x=2xln⁡10≈0.869 x\log_{10}e^{2x}=\frac{2x}{\ln10}\approx0.869\,x に近づく。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 55 件、定義なども含めて 69 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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