ポアソン方程式

定理 6.5（「静電場とガウスの法則」§6）・ ✓公理まで証明済み

$\rho$ を連続でコンパクト台を持つ電荷密度、 $V$ を定義 6.1 の静電ポテンシャルとする。 $V$ が $C^2$ 級である領域において

\Delta V = \frac{\partial^2V}{\partial x^2}+\frac{\partial^2V}{\partial y^2}+\frac{\partial^2V}{\partial z^2} = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}

が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 94 件、定義なども含めて 114 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

電場はポテンシャルの勾配✓定理 6.2・静電場とガウスの法則
ガウスの法則（微分形）✓定理 5.6・静電場とガウスの法則
- 発散定理（ガウス・オストログラツキーの定理）✓定理 5.3・静電場とガウスの法則
  - n 次元の発散定理✓補題 2.1・ラプラス方程式と調和関数
    ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理この先をたどる →
    滑らかな切り落としと 1 の分割✓補題 2.3・Schwartz 空間と緩増加超関数この先をたどる →
    滑らかな山型関数と軟化子✓補題 2.1・Schwartz 空間と緩増加超関数
  - 発散の直交座標表示✓命題 5.2・静電場とガウスの法則
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
    一様連続性定義 6.1・極限と連続性
- ガウスの法則（積分形）✓定理 4.4・静電場とガウスの法則
  - 電場定義 3.3・静電場とガウスの法則
  - 立体角の補題✓補題 4.2・静電場とガウスの法則
    発散定理（ガウス・オストログラツキーの定理）✓定理 5.3・静電場とガウスの法則（上で展開済み）
  - フビニの定理（長方形上）✓定理 4.2・重積分と累次積分
    ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分この先をたどる →
    リーマンの可積分条件✓定理 3.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
- 連続関数の消滅補題✓補題 5.5・静電場とガウスの法則

これを使っている定理証明で参照している 4 件

ラプラス方程式✓系 6.6・静電場とガウスの法則
クーロンゲージの実現と、そこでのスカラーポテンシャル✓命題 5.6・電磁ポテンシャルとゲージ変換
アンペールの法則（微分形）✓定理 6.2・定常電流と静磁場
遅延解✓補題 2.1・重力波

ポアソン方程式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

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