円軌道を回る時計の進み方

命題 7.1（「曲がった時空と重力」§7）・ ✓公理まで証明済み

シュヴァルツシルト時空において、赤道面内の半径 $r$ （ $r > 3r_s/2$ ）の円軌道を回る自由落下物体の固有時 $\tau$ と座標時 $t$ の関係は、厳密に

\frac{d\tau}{dt} = \sqrt{1 - \frac{3GM}{rc^2}} = \sqrt{1 - \frac{3r_s}{2r}}

である。無限遠に静止した時計に対する遅れが、静止した場合の $\sqrt{1 - 2GM/(rc^2)}$ ではなく、係数 $3$ になっている点が要点である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 55 件、定義なども含めて 74 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

シュヴァルツシルト解とバーコフの定理✓定理 5.1・曲がった時空と重力
- 球対称な計量定義 2.1・Schwarzschild 解と太陽系での検証
- 交差項の除去✓補題 2.2・Schwarzschild 解と太陽系での検証
  - 初期値への微分可能依存性✓定理 8.1・解の存在と一意性
    C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性この先をたどる →
    初期値・初期時刻への連続依存性✓定理 7.1・解の存在と一意性この先をたどる →
    線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性この先をたどる →
    コンパクト集合上の連続関数の一様連続性✓補題 2.3・常微分方程式の初等解法この先をたどる →
    Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性この先をたどる →
- Birkhoff の定理✓定理 3.1・Schwarzschild 解と太陽系での検証
  - 球対称計量の Ricci テンソル✓補題 2.3・Schwarzschild 解と太陽系での検証
    Levi-Civita 接続の存在と一意性✓定理 3.4・曲がった時空のテンソル解析この先をたどる →
    Riemann 曲率テンソル定義 6.1・曲がった時空のテンソル解析
- $r_s=2GM/c^2$ ✓命題 3.2・Schwarzschild 解と太陽系での検証
  - ニュートン極限✓定理 5.1・Einstein 方程式
    測地線方程式の性質✓命題 5.2・曲がった時空のテンソル解析この先をたどる →
    Einstein 方程式公理 3.1・Einstein 方程式
    Riemann 曲率テンソル定義 6.1・曲がった時空のテンソル解析
固有時定義 2.2・曲がった時空と重力

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

円軌道を回る時計の進み方

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）