物理学 › 構成的場の理論の原論文：反射正値性・クラスター展開・自明性 › Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部有料章

GS 場の無限体積極限

補題 4.4（「Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部」§4） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 118 件、定義なども含めて 139 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• GKS 不等式✓命題 4.3・ランダムカレント表示と自明性

  • switching lemma（Griffiths–Hurst–Sherman, Aizenman）✓補題 4.1・ランダムカレント表示と自明性
• GS 場はブロック Ising 模型の極限（原論文 (10.6)）✓命題 2.4・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部

  • Lévy の連続性定理（多次元）✓定理 5.2・確率測度の弱収束

    • 特性関数による緊密性の評価✓補題 4.5・特性関数と Gauss ベクトル

      • Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
    • Helly の選出定理（緊密な場合）✓系 3.5・確率測度の弱収束

      • Prokhorov の定理（緊密ならば相対コンパクト）✓定理 3.3・確率測度の弱収束 この先をたどる →
    • 一意性定理と反転公式✓定理 3.3・特性関数と Gauss ベクトル

      • Gauss 平滑化✓補題 3.1・特性関数と Gauss ベクトル この先をたどる →
      • 有界連続関数は分布を決める✓補題 3.2・特性関数と Gauss ベクトル この先をたどる →
    • 部分列の原理✓補題 5.1・確率測度の弱収束
  • ブロック和の畳み込み✓補題 2.3・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部
• 一様な指数減衰（GS 場）✓補題 4.3・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部

  • Simon の不等式（GS 場、対角を含む形）✓補題 4.1・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部

    • 飾りグラフ定義 2.2・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部
    • Simon–Lieb 不等式（対角を含む形）✓補題 3.3・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部

      • Simon–Lieb 不等式✓定理 6.2・Gauss 型の相関不等式 この先をたどる →
      • 1 点を切り離す不等式✓補題 6.1・Gauss 型の相関不等式 この先をたどる →
    • ブロック和の畳み込み✓補題 2.3・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部
    • GS 場はブロック Ising 模型の極限（原論文 (10.6)）✓命題 2.4・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部（上で展開済み）
• Newman の不等式と Griffiths の下界（原論文 (12.2)(12.4)）✓命題 6.1・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部

  • ブロック和の畳み込み✓補題 2.3・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部
  • GS 場はブロック Ising 模型の極限（原論文 (10.6)）✓命題 2.4・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部（上で展開済み）
  • 一様な指数減衰（GS 場）✓補題 4.3・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部（上で展開済み）
  • switching lemma（Griffiths–Hurst–Sherman, Aizenman）✓補題 4.1・ランダムカレント表示と自明性
  • φ⁴ 型格子場の相関不等式✓定理 4.3・相関不等式

    • 臨界 Curie–Weiss 模型からの φ⁴ 分布（Simon–Griffiths）✓定理 4.1・相関不等式
    • Griffiths の第 1 不等式✓定理 3.1・相関不等式
    • Griffiths の第 2 不等式（GKS）✓定理 3.2・相関不等式

      • Griffiths の第 1 不等式✓定理 3.1・相関不等式
    • Lebowitz 不等式✓定理 6.3・相関不等式

      • 複製変数による分解✓補題 6.2・相関不等式 この先をたどる →
      • 相関の結合定数についての単調性✓系 3.3・相関不等式 この先をたどる →
      • FKG 不等式✓定理 5.3・相関不等式 この先をたどる →

これを使っている定理 証明で参照している 25 件

• バブル条件のもとでの γ = 1（明示的な定数。Aizenman–Graham の不等式による）✓系 5.10・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models I』(1982) 第 1 部
• Lebowitz からの微分不等式と Gauss 的な上界（(11.29)–(11.32)）✓補題 4.5・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部
• Sokal の下界（(11.28)）✓系 4.6・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部
• 赤外評価による 2 次モーメントの上界（(11.26)）✓系 4.7・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部
• GS 場の樹木図不等式✓定理 5.2・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部
• φ⁴ 場の 4 点 Ursell 関数の上界（原論文 Proposition 11.2 の本章の形）✓定理 5.4・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部
• 感受率の平均場下界（GS 場、γ ≥ 1）✓系 5.8・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部
• Wick 則からのずれの両側評価（原論文 Proposition 12.1、GS 場）✓定理 6.4・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部
• 4 点 Ursell 関数の対による上界（原論文 (15.2)）✓補題 8.1・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部
• 結合定数の絶対的な上界（原論文 Proposition 15.1 の格子版）✓命題 8.2・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部
• 無限体積での MMS 不等式✓補題 3.2・Aizenman–Duminil-Copin (2021) 第 2 部
• スペクトル表示（原論文 Proposition 5.3 / A.6）✓命題 4.3・Aizenman–Duminil-Copin (2021) 第 2 部
• 境界条件によらないこと（原論文 Proposition 5.2 の 2 点関数の部分）✓補題 5.1・Aizenman–Duminil-Copin (2021) 第 2 部
• 2 点関数の下界（原論文 Corollary 5.8）✓系 6.1・Aizenman–Duminil-Copin (2021) 第 2 部
• 2 点関数の包絡（GS 場）✓補題 2.1・Aizenman–Duminil-Copin『Marginal triviality of 4D Ising and φ⁴₄』(2021) 第 4 部
• 第 3 部の 2 点関数の補題の GS 場への読み替え✓補題 2.2・Aizenman–Duminil-Copin『Marginal triviality of 4D Ising and φ⁴₄』(2021) 第 4 部
• 有限体積・有限ブロックでの近似✓補題 3.6・Aizenman–Duminil-Copin『Marginal triviality of 4D Ising and φ⁴₄』(2021) 第 4 部
• 無限体積の分布✓補題 3.7・Aizenman–Duminil-Copin『Marginal triviality of 4D Ising and φ⁴₄』(2021) 第 4 部
• GS 族の特性関数の評価（原論文 Proposition 7.2）✓命題 7.2・Aizenman–Duminil-Copin『Marginal triviality of 4D Ising and φ⁴₄』(2021) 第 4 部
• 感受率の微分の公式（GS 場）✓補題 5.1・Aizenman–Graham『On the renormalized coupling constant and the susceptibility in φ⁴₄ field theory and the Ising model in four dimensions』(1983)
• 物理単位の x 空間の赤外評価（原論文 (8)）✓系 2.4・Fröhlich『On the triviality of λφ⁴_d theories』(1982)
• Fröhlich の主不等式（原論文 (12)）✓定理 4.4・Fröhlich『On the triviality of λφ⁴_d theories』(1982)
• 感受率の微分の公式（GS 場）✓補題 6.1・Fröhlich『On the triviality of λφ⁴_d theories』(1982)
• φ⁴ 模型の γ = 1（Aizenman–Graham の不等式による。d ≥ 5 では仮定 $K(β_c)<1$ が不要）✓系 6.4・Fröhlich『On the triviality of λφ⁴_d theories』(1982)
• Aizenman–Fröhlich の自明性定理（d ≥ 5）✓定理 3.4・φ⁴ 理論の自明性・有限体積効果・O(N) 模型