物理学 › 格子場の理論 › φ⁴ 理論の自明性・有限体積効果・O(N) 模型有料章

Aizenman–Fröhlich の自明性定理（d ≥ 5）

定理 3.4（「φ⁴ 理論の自明性・有限体積効果・O(N) 模型」§3） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 221 件、定義なども含めて 252 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 9 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• Griffiths–Simon 族の格子場定義 2.1・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部
• 格子 φ⁴ 理論（κ, λ によるパラメータ付け）定義 3.1・格子スカラー場
• φ⁴ 型格子場の相関不等式✓定理 4.3・相関不等式

  • 臨界 Curie–Weiss 模型からの φ⁴ 分布（Simon–Griffiths）✓定理 4.1・相関不等式
  • Griffiths の第 1 不等式✓定理 3.1・相関不等式
  • Griffiths の第 2 不等式（GKS）✓定理 3.2・相関不等式

    • Griffiths の第 1 不等式✓定理 3.1・相関不等式
  • Lebowitz 不等式✓定理 6.3・相関不等式

    • 複製変数による分解✓補題 6.2・相関不等式

      • 分配関数の対数超モジュラ性✓補題 6.1・相関不等式 この先をたどる →
    • 相関の結合定数についての単調性✓系 3.3・相関不等式 この先をたどる →
    • FKG 不等式✓定理 5.3・相関不等式

      • 1 点の 4 関数補題✓補題 5.2・相関不等式
• 指数減衰の閾値（GS 場）定義 4.2・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部
• GS 場の無限体積極限✓補題 4.4・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部

  • GKS 不等式✓命題 4.3・ランダムカレント表示と自明性

    • switching lemma（Griffiths–Hurst–Sherman, Aizenman）✓補題 4.1・ランダムカレント表示と自明性
  • GS 場はブロック Ising 模型の極限（原論文 (10.6)）✓命題 2.4・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部

    • Lévy の連続性定理（多次元）✓定理 5.2・確率測度の弱収束 この先をたどる →
    • ブロック和の畳み込み✓補題 2.3・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部
  • 一様な指数減衰（GS 場）✓補題 4.3・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部

    • Simon の不等式（GS 場、対角を含む形）✓補題 4.1・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部 この先をたどる →
  • Newman の不等式と Griffiths の下界（原論文 (12.2)(12.4)）✓命題 6.1・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部

    • ブロック和の畳み込み✓補題 2.3・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部
    • GS 場はブロック Ising 模型の極限（原論文 (10.6)）✓命題 2.4・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部（上で展開済み）
    • 一様な指数減衰（GS 場）✓補題 4.3・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部（上で展開済み）
    • switching lemma（Griffiths–Hurst–Sherman, Aizenman）✓補題 4.1・ランダムカレント表示と自明性
    • φ⁴ 型格子場の相関不等式✓定理 4.3・相関不等式（上で展開済み）
• 感受率の平均場下界（GS 場、γ ≥ 1）✓系 5.8・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部

  • Lebowitz からの微分不等式と Gauss 的な上界（(11.29)–(11.32)）✓補題 4.5・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部

    • φ⁴ 型格子場の相関不等式✓定理 4.3・相関不等式（上で展開済み）
    • Simon の不等式（GS 場、対角を含む形）✓補題 4.1・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部 この先をたどる →
    • GS 場の無限体積極限✓補題 4.4・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部（上で展開済み）
  • GS 場の無限体積極限✓補題 4.4・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部（上で展開済み）
• くりこまれた質量・場のくりこみ・結合定義 2.1・φ⁴ 理論の自明性・有限体積効果・O(N) 模型
• d ≥ 5 の自明性（原論文 Proposition 10.1）✓定理 7.5・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部

  • くりこまれた結合の評価（GS 場）✓命題 5.7・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部

    • φ⁴ 型格子場の相関不等式✓定理 4.3・相関不等式（上で展開済み）
    • 4 点 Ursell 関数の対による上界（原論文 (15.2)）✓補題 8.1・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部 この先をたどる →
    • GS 場の樹木図不等式✓定理 5.2・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部 この先をたどる →
    • 座標空間の赤外評価（原論文の式 (5.36)(5.37)）✓定理 5.8・Aizenman–Duminil-Copin (2021) 第 2 部 この先をたどる →
    • 赤外評価による 2 次モーメントの上界（(11.26)）✓系 4.7・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部 この先をたどる →
  • 感受率の平均場下界（GS 場、γ ≥ 1）✓系 5.8・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部（上で展開済み）
  • 連続極限の a priori 評価（原論文 (13.6)–(13.7)）✓補題 7.3・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部 この先をたどる →
  • 4 点 Ursell 関数の対による上界（原論文 (15.2)）✓補題 8.1・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部 この先をたどる →
  • GS 場の樹木図不等式✓定理 5.2・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部 この先をたどる →
  • 格子点の和の評価✓補題 7.4・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部
  • Gauss 性の判定（原論文 Corollary 12.1）✓定理 6.5・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部

    • Wick 則からのずれの両側評価（原論文 Proposition 12.1、GS 場）✓定理 6.4・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部 この先をたどる →
• 連続極限（スケーリング極限）定義 7.1・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models II』(1982) 第 2 部

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

• Aizenman–Duminil-Copin の周辺的自明性（d = 4）✓定理 3.7・φ⁴ 理論の自明性・有限体積効果・O(N) 模型

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