Hull–Dobell の定理

定理 3.4（「擬似乱数生成器」§3）・ ✓公理まで証明済み

$m \ge 2$ 、 $a \ge 1$ 、 $c \ge 0$ を整数とする。線形合同法 $x_{k+1} = (ax_k + c) \bmod m$ が全周期 $m$ をもつための必要十分条件は、次の 3 つがすべて成り立つことである。

$\gcd(c, m) = 1$ 。
$m$ を割り切るすべての素数 $p$ について $a \equiv 1 \pmod p$ 。
$4 \mid m$ ならば $a \equiv 1 \pmod 4$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 19 件、定義なども含めて 23 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

線形合同法の閉じた形✓補題 3.2・擬似乱数生成器
- 合同式の四則✓命題 3.3・合同式とフェルマーの小定理
ユークリッドの補題（一般形）✓補題 2.2・整除と素因数分解
- ベズーの等式✓補題 2.4・素数の魅力と素数定理
  - 除法の原理✓補題 2.3・素数の魅力と素数定理
    整列性公理 3.1・証明の技術
  - 整除と最大公約数定義 2.1・素数の魅力と素数定理
付値の規則と gcd・lcm✓命題 5.3・整除と素因数分解
- 素因数分解の指数による表示✓定理 5.2・整除と素因数分解
  - ユークリッドの補題✓補題 4.1・素数の魅力と素数定理
    素数と合成数定義 2.2・素数の魅力と素数定理
    ベズーの等式✓補題 2.4・素数の魅力と素数定理（上で展開済み）
  - 算術の基本定理✓定理 4.2・素数の魅力と素数定理
    完全帰納法✓定理 4.3・証明の技術この先をたどる →
    素数と合成数定義 2.2・素数の魅力と素数定理
    ユークリッドの補題✓補題 4.1・素数の魅力と素数定理（上で展開済み）
中国剰余定理✓定理 4.8・合同式とフェルマーの小定理
- 剰余環定義 4.1・合同式とフェルマーの小定理
- ユークリッドの補題✓補題 2.3・合同式とフェルマーの小定理
  - ベズーの等式✓定理 2.2・合同式とフェルマーの小定理
    除法の原理✓定理 2.1・合同式とフェルマーの小定理この先をたどる →
等比和の p 進付値✓補題 3.3・擬似乱数生成器
- 合同式の四則✓命題 3.3・合同式とフェルマーの小定理
- 付値の規則と gcd・lcm✓命題 5.3・整除と素因数分解（上で展開済み）
系 4.5✓合同式とフェルマーの小定理
- 命題 4.4✓合同式とフェルマーの小定理
  - ベズーの等式✓定理 2.2・合同式とフェルマーの小定理（上で展開済み）

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法 $2^e$ の線形合同法の下位ビット✓命題 3.7・擬似乱数生成器

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