数学 › 数論 › 整除と素因数分解

付値の規則と gcd・lcm

命題 5.3（「整除と素因数分解」§5）・ ✓公理まで証明済み

正の整数 $a,b$ と素数 $p$ について次が成り立つ。

$v_p(ab)=v_p(a)+v_p(b)$ 。
$a\mid b\iff$ すべての素数 $p$ で $v_p(a)\le v_p(b)$ 。
$v_p(\gcd(a,b))=\min(v_p(a),v_p(b))$ 、 $v_p(\mathrm{lcm}(a,b))=\max(v_p(a),v_p(b))$ 。
特に $\gcd(a,b)\,\mathrm{lcm}(a,b)=ab$ （命題 2.4 の別証明）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 8 件、定義なども含めて 11 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

素因数分解の指数による表示✓定理 5.2・整除と素因数分解
- ユークリッドの補題✓補題 4.1・素数の魅力と素数定理
  - 素数と合成数定義 2.2・素数の魅力と素数定理
  - ベズーの等式✓補題 2.4・素数の魅力と素数定理
    除法の原理✓補題 2.3・素数の魅力と素数定理この先をたどる →
    整除と最大公約数定義 2.1・素数の魅力と素数定理
- 算術の基本定理✓定理 4.2・素数の魅力と素数定理
  - 完全帰納法✓定理 4.3・証明の技術
    数学的帰納法の原理✓定理 3.2・証明の技術この先をたどる →
  - 素数と合成数定義 2.2・素数の魅力と素数定理
  - ユークリッドの補題✓補題 4.1・素数の魅力と素数定理（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 8 件

等比和の p 進付値✓補題 3.3・擬似乱数生成器
Hull–Dobell の定理✓定理 3.4・擬似乱数生成器
乗算型合同法の周期✓命題 3.6・擬似乱数生成器
平方数でない自然数の平方根✓系 7.7・証明の技術
互いに素な数の積が平方数なら、それぞれ平方数✓補題 6.1・整数の性質 II
約数の総和の公式✓命題 2.2・整数の性質 I
Legendre の公式✓定理 5.2・整数の性質 I
約数の個数✓命題 5.5・整除と素因数分解

関連するノック 3 問