数学 › 作用素環と量子統計力学 › 準自由状態の準同値有料章

Powers–Størmer の判定（同時対角化できる場合）

定理 6.2（「準自由状態の準同値」§6） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 174 件、定義なども含めて 192 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 対角な準自由状態は積状態✓補題 6.1・準自由状態の準同値
• CAR の準自由状態の存在条件✓定理 5.2・CCR・CAR 代数と準自由状態

  • CAR からノルムが決まる✓命題 3.2・CCR・CAR 代数と準自由状態
  • Araki–Wyss 表現✓命題 4.2・CCR・CAR 代数と準自由状態

    • CAR 代数の一意性と単純性✓定理 3.3・CCR・CAR 代数と準自由状態

      • CAR からノルムが決まる✓命題 3.2・CCR・CAR 代数と準自由状態
      • Jordan–Wigner 変換✓命題 5.3・フェルミオン Fock 空間と正準反交換関係 この先をたどる →
• Bures の定理（Kakutani の定理の非可換版）✓定理 5.5・準自由状態の準同値

  • Uhlmann の公式✓定理 4.4・準自由状態の準同値

    • Schur の補題✓補題 2.5・C* 環の状態と GNS 構成

      • スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
      • 有界ボレル関数計算✓定理 6.2・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
    • テンソル積の可換子✓補題 6.16・von Neumann 環と二重可換子定理

      • von Neumann の二重可換子定理✓定理 3.3・von Neumann 環と二重可換子定理（上で展開済み）
    • 可換子による表示✓補題 4.2・準自由状態の準同値

      • GNS 表現の一意性✓定理 4.2・C* 環の状態と GNS 構成 この先をたどる →
  • 忠実度の単調極限✓定理 4.5・準自由状態の準同値

    • 忠実度の基本性質✓命題 4.3・準自由状態の準同値（上で展開済み）
    • 可換子による表示✓補題 4.2・準自由状態の準同値（上で展開済み）
    • Tychonoff の定理✓定理 6.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理

      • コンパクト性の超フィルターによる特徴づけ✓定理 5.9・積位相・商位相と Tychonoff の定理 この先をたどる →
      • 超フィルターの像は超フィルター✓補題 6.1・積位相・商位相と Tychonoff の定理 この先をたどる →
      • 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
  • 忠実度の基本性質✓命題 4.3・準自由状態の準同値

    • ベクトル状態の距離✓補題 5.1・表現の準同値と準自由状態の判定

      • トレースによる双対性✓定理 7.8・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス この先をたどる →
    • 極分解は環の中で閉じる✓命題 4.3・von Neumann 環と二重可換子定理

      • 関数計算で閉じていること✓命題 4.1・von Neumann 環と二重可換子定理 この先をたどる →
    • 可換子による表示✓補題 4.2・準自由状態の準同値（上で展開済み）
  • 有限個の因子の取り替え✓補題 5.3・準自由状態の準同値

    • 積状態の GNS 表現の構造✓補題 5.2・準自由状態の準同値

      • 正規なベクトル状態しか持たない表現✓補題 5.1・準自由状態の準同値 この先をたどる →
    • 因子表現の二分法✓命題 3.4・表現の準同値と準自由状態の判定

      • 準同値の特徴づけ✓定理 3.3・表現の準同値と準自由状態の判定（上で展開済み）
      • B(H) は因子である✓命題 6.2・von Neumann 環と二重可換子定理 この先をたどる →
  • 準同値の特徴づけ✓定理 3.3・表現の準同値と準自由状態の判定

    • 因子では中心台は 1✓命題 2.2・因子の型分類
    • von Neumann の二重可換子定理✓定理 3.3・von Neumann 環と二重可換子定理

      • 4 つの位相の関係✓命題 2.2・von Neumann 環と二重可換子定理 この先をたどる →
      • 可換子の基本性質✓命題 3.1・von Neumann 環と二重可換子定理 この先をたどる →
      • Schur の補題✓補題 2.5・C* 環の状態と GNS 構成（上で展開済み）
    • 正規状態の特徴づけ✓定理 5.3・von Neumann 環と二重可換子定理

      • Vigier の定理（単調収束）✓補題 5.1・von Neumann 環と二重可換子定理 この先をたどる →
      • 4 つの位相の関係✓命題 2.2・von Neumann 環と二重可換子定理 この先をたどる →
  • 正規状態は無限遠で積状態に近づく✓補題 5.4・準自由状態の準同値

    • 積状態の表現の中の状態は無限遠で積状態に近づく✓補題 5.2・表現の準同値と準自由状態の判定
  • 密度行列の忠実度とトレース距離✓系 3.2・準自由状態の準同値

    • Powers–Størmer 不等式✓定理 3.1・準自由状態の準同値

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

• Powers–Størmer の定理（同時対角化できる場合）✓定理 6.7・表現の準同値と準自由状態の判定