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1 次元ランダムウォークの再帰性

定理 4.8（「確率の発展」§4）・ ✓公理まで証明済み

$n\ge1$ について次が成り立つ。

$\dfrac1{2\sqrt n}\le u_{2n}\le\dfrac1{\sqrt{2n+1}}$ 。
時刻 $2n$ までに原点に戻る確率は $1-u_{2n}$ で、 $n\to\infty$ のとき $1$ に収束する。
時刻 $2N$ までに原点にいる回数の期待値 $\sum_{n=1}^Nu_{2n}$ は、 $N\to\infty$ で $\infty$ に発散する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 15 件、定義なども含めて 16 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

原点に戻らない経路の個数✓補題 4.3・確率の発展
- 鏡像原理✓定理 4.2・確率の発展
- 経路の個数✓補題 4.1・確率の発展
  - 組合せの個数✓定理 4.3・場合の数
    順列の個数✓定理 4.2・場合の数この先をたどる →
    和の法則・積の法則✓定理 3.1・場合の数
    Pascal の漸化式と閉じた式✓命題 7.2・数え上げと母関数
- Pascal の漸化式と閉じた式✓命題 7.2・数え上げと母関数
指示関数の方法✓命題 6.4・確率
- 期待値の線形性✓定理 6.3・確率
単調関数の和と積分の大小✓定理 8.1・積分法
- 定積分の基本性質✓命題 4.1・積分の基本定理と定積分
  - リーマンの可積分条件✓定理 3.4・積分の基本定理と定積分
    上積分・下積分とリーマン可積分性定義 3.1・積分の基本定理と定積分
    細分による単調性✓補題 2.3・積分の基本定理と定積分
  - 細分による単調性✓補題 2.3・積分の基本定理と定積分

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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