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平方根の存在と計算規則

命題 4.1（「数と式」§4）・ ✓公理まで証明済み

$a\ge0$ とする。 $b^2=a$ を満たす $b\ge0$ がただ一つ存在する。これを $\sqrt a$ と書く。さらに次が成り立つ。

すべての実数 $x$ について $\sqrt{x^2}=|x|$ 。
$a,b\ge0$ なら $\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$ 。 $b>0$ なら $\sqrt{a/b}=\sqrt a/\sqrt b$ 。
$0\le a<b$ ならば $\sqrt a<\sqrt b$ 。
$a,b\ge0$ なら $\sqrt{a+b}\le\sqrt a+\sqrt b$ 。等号は $ab=0$ のときに限る。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 7 件、定義なども含めて 10 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

多項式関数と有理関数の連続性✓系 5.2・極限と連続性
- 極限の四則✓定理 4.2・極限と連続性
  - 関数の極限定義 3.1・極限と連続性
  - 収束すれば局所有界✓補題 4.1・極限と連続性
    関数の極限定義 3.1・極限と連続性
中間値の定理✓定理 5.7・極限と連続性
- 実数の連続性公理（上限性質）公理 5.1・数とは何か
実数の計算規則✓命題 2.2・数と式
- 一次方程式の可解性✓命題 7.1・数とは何か
  - 順序体定義 2.1・数とは何か
絶対値の性質と三角不等式✓定理 3.2・数と式
- 実数の計算規則✓命題 2.2・数と式（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 5 件

べき乗の単調性と n 乗根✓補題 2.1・式と証明
平均の大小関係✓定理 3.5・式と証明
Engel の形（Titu の補題）✓系 4.3・式と証明
条件付き最大最小の 2 つの型✓命題 7.1・式と証明
二重根号が外れる条件✓定理 6.2・数と式

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