順序体

集合 $K$ に二つの演算 $+ ,\ \cdot$ と関係 $<$ が与えられ、次を満たすとき、$(K, +, \cdot, <)$ を順序体といいます。

体の公理：任意の $a, b, c \in K$ に対し

1. $a + b = b + a$、$(a+b)+c = a+(b+c)$。
2. 加法の単位元 $0 \in K$ が存在し $a + 0 = a$。各 $a$ に対し $a + (-a) = 0$ となる $-a \in K$ が存在する。
3. $ab = ba$、$(ab)c = a(bc)$。
4. 乗法の単位元 $1 \in K$ が存在して $1 \ne 0$ かつ $a \cdot 1 = a$。$a \ne 0$ なる各 $a$ に対し $a a^{-1} = 1$ となる $a^{-1} \in K$ が存在する。
5. $a(b+c) = ab + ac$。

順序の公理：

6. 任意の $a, b$ について $a < b$、$a = b$、$b < a$ のちょうど一つが成り立つ。
7. $a < b$ かつ $b < c$ ならば $a < c$。
8. $a < b$ ならば $a + c < b + c$。
9. $a < b$ かつ $0 < c$ ならば $ac < bc$。

減法と除法は、この公理から派生した記号です。すなわち $a - b := a + (-b)$、そして $b \ne 0$ のとき $a / b := a \cdot b^{-1}$ と定めます。