数学 › 高校数学：数と式・整数・数列 › 式と証明

べき乗の単調性と n 乗根

補題 2.1（「式と証明」§2）・ ✓公理まで証明済み

$n\ge1$ を整数とする。

$0\le a<b$ ならば $a^n<b^n$ 。したがって $a,b\ge0$ について $a^n\le b^n\iff a\le b$ 。
$a\ge0$ ならば、 $b^n=a$ を満たす $b\ge0$ がただ 1 つ存在する。これを $\sqrt[n]{a}$ と書く。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 8 件、定義なども含めて 11 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

実数の計算規則✓命題 2.2・数と式
- 一次方程式の可解性✓命題 7.1・数とは何か
  - 順序体定義 2.1・数とは何か
平方根の存在と計算規則✓命題 4.1・数と式
- 多項式関数と有理関数の連続性✓系 5.2・極限と連続性（上で展開済み）
- 中間値の定理✓定理 5.7・極限と連続性（上で展開済み）
- 実数の計算規則✓命題 2.2・数と式（上で展開済み）
- 絶対値の性質と三角不等式✓定理 3.2・数と式
  - 実数の計算規則✓命題 2.2・数と式（上で展開済み）
多項式関数と有理関数の連続性✓系 5.2・極限と連続性
- 極限の四則✓定理 4.2・極限と連続性
  - 関数の極限定義 3.1・極限と連続性
  - 収束すれば局所有界✓補題 4.1・極限と連続性
    関数の極限定義 3.1・極限と連続性
中間値の定理✓定理 5.7・極限と連続性
- 実数の連続性公理（上限性質）公理 5.1・数とは何か

これを使っている定理証明で参照している 4 件

相加相乗平均の不等式✓定理 3.2・式と証明
平均の大小関係✓定理 3.5・式と証明
Robin Hood の補題✓補題 6.2・式と証明
Maclaurin の不等式✓定理 6.6・式と証明