物理学 › 場の量子論 › 経路積分量子化

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定理 3.1（「経路積分量子化」§3） ・ ✓公理まで証明済み

H^=p^2/(2m)+V(q^)\hat H=\hat p^2/(2m)+V(\hat q) を上の仮定を満たすハミルトニアンとし、T=tf−ti>0T=t_f-t_i>0、ϵ=T/N\epsilon=T/N、tk=ti+kϵt_k=t_i+k\epsilon とする。q0=qiq_0=q_i、qN=qfq_N=q_f と置くとき、定義 2.1 の伝播関数は次の極限で与えられる。

K(qf,tf;qi,ti)=lim⁡N→∞(m2πiℏϵ)N/2∫∏k=1N−1dqk  exp⁡[iℏ∑k=1Nϵ(m2(qk−qk−1ϵ)2−V(qk−1))]K(q_f,t_f;q_i,t_i)=\lim_{N\to\infty}\left(\frac{m}{2\pi i\hbar\epsilon}\right)^{N/2}\int\prod_{k=1}^{N-1}dq_k\; \exp\left[\frac{i}{\hbar}\sum_{k=1}^{N}\epsilon\left(\frac{m}{2}\Big(\frac{q_k-q_{k-1}}{\epsilon}\Big)^2-V(q_{k-1})\right)\right]

また pp 積分を実行する前の段階では、位相空間上の表式

K=lim⁡N→∞∫∏k=1N−1dqk∏k=1Ndpk2πℏ  exp⁡[iℏ∑k=1N(pk(qk−qk−1)−ϵH(pk,qk−1))]K=\lim_{N\to\infty}\int\prod_{k=1}^{N-1}dq_k\prod_{k=1}^{N}\frac{dp_k}{2\pi\hbar}\; \exp\left[\frac{i}{\hbar}\sum_{k=1}^{N}\Big(p_k(q_k-q_{k-1})-\epsilon H(p_k,q_{k-1})\Big)\right]

が成り立つ。ここで H(p,q)=p2/(2m)+V(q)H(p,q)=p^2/(2m)+V(q) は古典ハミルトニアンである。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 37 件、定義なども含めて 38 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 2 件