数学 › 数値線形代数 › Krylov 部分空間法 II

対角化可能な行列での GMRES の収束

系 4.3（「Krylov 部分空間法 II」§4）・ ✓公理まで証明済み

$A=V\Lambda V^{-1}$ （ $\Lambda$ は対角）と対角化できるなら、 $1\le k\le d$ について

\frac{\|\boldsymbol{r}_k\|}{\|\boldsymbol{r}_0\|}\le\kappa(V)\min_{p\in\mathcal{P}_k,\ p(0)=1}\ \max_{\lambda\in\sigma(A)}|p(\lambda)|,\qquad\kappa(V)=\|V\|\|V^{-1}\|.

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 33 件、定義なども含めて 36 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

残差多項式✓補題 4.1・Krylov 部分空間法 II
- Krylov 部分空間の基本性質✓命題 2.2・Krylov 部分空間法 I
  - 対角化と固有基底✓定理 3.2・対角化とジョルダン標準形
- GMRES の最小残差性と実装✓定理 3.2・Krylov 部分空間法 II
  - Arnoldi の関係式✓定理 3.2・Krylov 部分空間法 I
    Krylov 部分空間の基本性質✓命題 2.2・Krylov 部分空間法 I（上で展開済み）
    直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
  - 最小二乗解の特徴づけ✓定理 3.2・最小二乗問題
    最良近似✓定理 7.2・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
    直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
    次元定理✓定理 8.3・行列と連立一次方程式この先をたどる →
    正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質この先をたどる →
  - Givens 回転の性質✓命題 3.4・QR 分解
  - QR 分解による最小二乗解✓定理 5.1・最小二乗問題
- Arnoldi が止まれば厳密解✓命題 3.3・Krylov 部分空間法 II
  - Arnoldi の関係式✓定理 3.2・Krylov 部分空間法 I（上で展開済み）
  - Krylov 部分空間の基本性質✓命題 2.2・Krylov 部分空間法 I（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 1 件

固有値が円板に入るときの評価✓系 4.4・Krylov 部分空間法 II

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