数学 › Lie 群と Lie 環の表現論 › ルート系と Weyl 群

Cartan 部分環は自分の中心化環に一致する

定理 2.4（「ルート系と Weyl 群」§2）・ ✓公理まで証明済み

$C_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{h})=\mathfrak{h}$ である。したがって $\kappa|_{\mathfrak{h}\times\mathfrak{h}}$ は非退化で、

\mathfrak{g}=\mathfrak{h}\oplus\bigoplus_{\alpha\in\Phi}\mathfrak{g}_\alpha

（ルート空間分解）が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 44 件、定義なども含めて 51 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

抽象 Jordan 分解✓定理 8.4・Lie 環の構造論
- 半単純 Lie 環の微分は内部微分✓定理 8.3・Lie 環の構造論
- Jordan–Chevalley 分解✓命題 6.1・Lie 環の構造論
  - ジョルダン標準形の存在と一意性✓定理 6.2・対角化とジョルダン標準形
    代数学の基本定理✓定理 4.3・正則関数の強力な性質この先をたどる →
    ジョルダン標準形（構造定理から）✓定理 7.5・加群と PID 上の構造定理この先をたどる →
    細胞の個数を階数で数える✓命題 6.4・対角化とジョルダン標準形この先をたどる →
  - PID は UFD✓定理 2.5・多項式環と体の拡大
    PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大この先をたどる →
    一意性と素元✓補題 2.3・多項式環と体の拡大
ルート空間の基本性質✓命題 2.3・ルート系と Weyl 群
Engel の定理✓系 4.3・Lie 環の構造論
- Engel の定理（線形版）✓定理 4.2・Lie 環の構造論（上で展開済み）
Engel の定理（線形版）✓定理 4.2・Lie 環の構造論
- 冪零行列の ad は冪零✓補題 4.1・Lie 環の構造論

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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