物理学 › 格子ゲージ理論の繰り込み群：Bałaban と Dimock の原論文 › Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories II』精読 第 2 部有料章

規格化因子の局所化（原論文 p.21、[16] の (63)）

命題 8.4（「Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories II』精読 第 2 部」§8） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 367 件、定義なども含めて 413 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 新しい作用の表示（原論文 (2.10)–(2.15)）✓命題 6.8・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 1 部

  • Haar 測度の指数座標での密度✓補題 4.1・Bałaban『Large field renormalization II』精読 第 1 部

    • 指数写像の微分公式✓補題 6.1・行列 Lie 群と指数写像

      • 随伴表現の微分は ad✓補題 5.3・行列 Lie 群と指数写像
    • 指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像

      • 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定 この先をたどる →
    • Lie 群の Haar 測度と Maurer–Cartan 形式✓命題 6.1・Haar 測度 この先をたどる →
  • 線形化変換 $B'=B-h\tilde D(B)$（原論文 (2.10) の後）✓補題 6.6・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 1 部

    • 揺らぎ場についての展開（原論文 (2.4)–(2.8)）✓命題 6.3・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 1 部（上で展開済み）
    • 正則関数の評価の道具✓補題 2.4・準備 1 この先をたどる →
    • 縮小写像の原理（Banach の不動点定理）✓定理 6.2・距離空間
    • 指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像（上で展開済み）
    • 行列の指数関数の基本性質✓定理 9.2・行列の分解と標準形 この先をたどる →
  • 揺らぎ場についての展開（原論文 (2.4)–(2.8)）✓命題 6.3・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 1 部

    • Wilson 作用の勾配（原論文 (1.8) の $J$）✓補題 2.4・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 1 部
    • 平均の解析性✓補題 6.2・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 1 部 この先をたどる →
    • 指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像（上で展開済み）
    • 正則関数の評価の道具✓補題 2.4・準備 1 この先をたどる →
    • 格子・ブロック・最短路の族（原論文 (0.1)(0.3)）定義 2.1・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 1 部
  • 揺らぎ場の 1 次の項は消える（原論文 (2.10) の後）✓補題 6.7・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 1 部

    • 線形化変換 $B'=B-h\tilde D(B)$（原論文 (2.10) の後）✓補題 6.6・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 1 部（上で展開済み）
    • 臨界点の存在と一意性（原論文 (2.2)(2.3)）✓命題 6.1・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 1 部（上で展開済み）
  • 臨界点の存在と一意性（原論文 (2.2)(2.3)）✓命題 6.1・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 1 部

    • ゲージ共変性と局所性（原論文 (11)–(13)）✓命題 3.5・準備 1 この先をたどる →
    • 群平均の公理 (0.5)–(0.10)✓命題 2.2・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 1 部 この先をたどる →
    • ユニタリ行列の対数（原論文 (23)–(25)）✓補題 2.2・準備 1 この先をたどる →
  • RG I・II・III の二次形式の正定値性✓系 8.6・準備 3 の 3

    • 揺らぎ場についての展開（原論文 (2.4)–(2.8)）✓命題 6.3・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 1 部（上で展開済み）
    • 正則関数の評価の道具✓補題 2.4・準備 1 この先をたどる →
    • 群平均の公理 (0.5)–(0.10)✓命題 2.2・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 1 部 この先をたどる →
    • 輪郭の族の直径と閉路の評価✓補題 2.3・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 1 部 この先をたどる →
    • 線形化変換 $B'=B-h\tilde D(B)$（原論文 (2.10) の後）✓補題 6.6・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 1 部（上で展開済み）
    • 作用素 $h$（原論文 (2.10) の後）✓補題 6.4・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 1 部 この先をたどる →
    • 二次形式の一様な下界（CMP 99 (3.156)、RG I (2.11) の正定値性）✓定理 8.5・準備 3 の 3 この先をたどる →
    • 拘束を解く写像のノルム✓補題 8.4・準備 3 の 3 この先をたどる →
  • 臨界軌道の一意性と最小配位の正則性（原論文 Theorem 1）✓定理 8.11・準備 4

    • 近似解と Landau ゲージへの帰着（原論文 (11)–(21)、Proposition 2）✓命題 4.1・準備 4 この先をたどる →
    • 臨界軌道の一意性・存在・最小性（原論文 Proposition 7）✓命題 7.3・準備 4 この先をたどる →
    • 正則性の改良（原論文 Proposition 8、(160)–(169)）✓命題 8.10・準備 4 この先をたどる →
    • 局所座標の局所版（原論文 (144)–(160) の局所的な形）✓命題 8.5・準備 4 この先をたどる →
    • 局所座標の場の評価（原論文 (161)–(167)、(169)）✓補題 8.7・準備 4 この先をたどる →
    • Theorem 2 [14]：軸ゲージから Landau ゲージへの変換✓定理 5.2・準備 2 この先をたどる →
    • Wilson 作用の基本性質✓命題 3.5・格子ゲージ場 この先をたどる →
• 対数行列式の積分表示（原論文 (63) の訂正版）✓補題 6.1・準備 5
• 局所化された展開の代数✓補題 3.2・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories II』精読 第 1 部

  • 重みつき核ノルムの性質✓補題 4.2・準備 3

    • ノイマン級数✓定理 6.1・有界作用素と共役作用素
• 連結な開集合と交わる立方体は面で連結✓補題 2.1・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories II』精読 第 1 部
• 骨格の近傍と交わる立方体の数✓補題 2.2・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories II』精読 第 1 部
• 局所化された展開（原論文 (1.6)(1.7) の形式化）定義 3.1・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories II』精読 第 1 部

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

• 新しい局所化項の実数性（論文 I の帰納的仮定の 6 の保存）✓命題 8.6・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories II』精読 第 2 部
• 論文 I の Theorem 3 の証明の完成（原論文 p.22）✓定理 8.7・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories II』精読 第 2 部