Sturm 列による固有値の数え上げ

定理 5.1（「行列計算の認証と最適化の証明書」§5）・ ✓公理まで証明済み

$d_1(x),\ldots,d_n(x)$ がすべて定義されて $0$ でないとき、 $T$ の $x$ より小さい固有値の個数（重複度込み）は $\#\{k:d_k(x)\lt0\}$ に等しい。また $T-xI$ の左上 $k$ 次の主小行列式を $p_k(x)$ （ $p_0=1$ ）とすると $p_k(x)=d_1(x)\cdots d_k(x)$ であり、上の個数は列 $p_0,p_1(x),\ldots,p_n(x)$ の符号の変化の回数に等しい。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 24 件、定義なども含めて 26 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

LDLᵀ 分解による慣性の認証✓定理 3.1・行列計算の認証と最適化の証明書
- シルヴェスターの慣性法則✓定理 6.1・行列の分解と標準形
  - 直和の判定と次元公式✓命題 5.2・双対空間と商空間
    有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
- 主軸定理と正定値性の判定✓定理 6.3・スペクトル定理
  - 実対称行列の直交対角化✓系 4.3・スペクトル定理
    エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理この先をたどる →
    スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理（上で展開済み）
    不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理この先をたどる →
    ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理（上で展開済み）
  - ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理
    随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理この先をたどる →
  - スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理
    固有値の存在✓系 4.6・固有値と固有ベクトルこの先をたどる →
    エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理この先をたどる →
    不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理この先をたどる →
    直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
    ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 1 件

Sturm 列による二分法✓命題 3.1・対称固有値問題と特異値分解の計算

Sturm 列による固有値の数え上げ

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

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