デフレーションの後退誤差

命題 5.4（「固有値の計算 II」§5）・ ✓公理まで証明済み

$H = Q^{\mathsf{T}}AQ$ （ $Q$ は直交）を上 Hessenberg 行列とし、ある $k$ で

|h_{k+1,k}| \le u\,(|h_{kk}| + |h_{k+1,k+1}|)

とする（ $u$ は単位丸め）。 $h_{k+1,k}$ を $0$ に置き換えた行列を $H + E$ とすると、

$\|E\|_2 = |h_{k+1,k}| \le 2u\|H\|_2 = 2u\|A\|_2$ で、 $H + E$ の固有値は左上 $k$ 次と右下 $n - k$ 次の対角ブロックの固有値を合わせたものであり、それらは $A + QEQ^{\mathsf{T}}$ （ $\|QEQ^{\mathsf{T}}\|_2 = \|E\|_2$ ）の固有値に等しい。
$A$ が対称で、 $H$ が対称な三重対角行列のとき、 $h_{k+1,k}$ と $h_{k,k+1}$ をともに $0$ に置き換えた行列を $H + E'$ とすると $\|E'\|_2 = |h_{k+1,k}|$ で、大きい順に並べた固有値は $|\lambda_i(H + E') - \lambda_i(A)| \le 2u\|A\|_2$ を満たす。
$A = V\Lambda V^{-1}$ が対角化可能なら、 $H + E$ の各固有値 $\nu$ について $\min_i|\nu - \lambda_i| \le 2u\,\kappa_2(V)\|A\|_2$ である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 35 件、定義なども含めて 39 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

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Bauer–Fike の定理✓定理 6.2・行列計算の認証と最適化の証明書

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。