凸関数での Newton 法の単調な大域収束

定理 5.3（「非線形方程式の反復解法」§5）・ ✓公理まで証明済み

$I$ を区間、 $f : I \to \mathbb{R}$ を微分可能で $f'$ が広義単調増加（ $f$ が凸）な関数とし、 $x^* \in I$ で $f(x^*) = 0$ 、 $f'(x^*) \gt 0$ とする。 $x_0 \in I$ 、 $x_0 \gt x^*$ ならば、Newton 法の列は定義されて

x^* \le x_{k+1} \le x_k \qquad (k \ge 0)

を満たし、 $x^*$ に収束する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 14 件、定義なども含めて 18 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
- ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理
  - 最大値・最小値の定理✓定理 2.3・平均値の定理とテイラーの定理
    実数の連続性公理（上限性質）公理 5.1・数とは何か
    最大値の原理（ワイエルシュトラスの定理）✓定理 4.2・連続関数と一様連続性この先をたどる →
    極限の四則✓定理 4.2・極限と連続性この先をたどる →
  - 極大・極小定義 2.1・平均値の定理とテイラーの定理
  - フェルマーの補題✓補題 2.5・平均値の定理とテイラーの定理
    極大・極小定義 2.1・平均値の定理とテイラーの定理
単調有界定理✓定理 2.1・級数と収束判定
数列による特徴づけ✓定理 4.5・極限と連続性
- 関数の極限定義 3.1・極限と連続性
- アルキメデスの原理✓命題 5.4・数とは何か
  - 実数の連続性公理（上限性質）公理 5.1・数とは何か

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

凸関数での Newton 法の単調な大域収束

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）