数列による特徴づけ

$A \subseteq \mathbb{R}$、$f : A \to \mathbb{R}$、$a$ を $A$ の集積点、$L \in \mathbb{R}$ とする。次の 2 条件は同値である。

1. $\lim_{x\to a} f(x) = L$。
2. $x_n \in A$、$x_n \ne a$（すべての $n \in \mathbb{N}$）、$\lim_{n\to\infty} x_n = a$ を満たす任意の数列 $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ に対して $\lim_{n\to\infty} f(x_n) = L$。

ここで数列の収束 $\lim_{n\to\infty} y_n = c$ は「$\forall \varepsilon>0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \ge N,\ |y_n - c| < \varepsilon$」を意味する。