物理学 › 力学（古典力学・解析力学） › ラグランジュ形式の力学

ニュートン方程式との同値性

定理 4.2（「ラグランジュ形式の力学」§4） ・ ✓公理まで証明済み

拘束のない NN 質点系（n=3Nn = 3N、一般化座標として直交座標 r1,…,rN\boldsymbol{r}_1,\ldots,\boldsymbol{r}_N を取る）を考える。質量を mi>0m_i > 0、ポテンシャルを C2C^2 級関数 U(r1,…,rN,t)U(\boldsymbol{r}_1,\ldots,\boldsymbol{r}_N,t) とし

L=T−U=∑i=1N12mi∣r˙i∣2−U(r1,…,rN,t)L = T - U = \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2}m_i |\dot{\boldsymbol{r}}_i|^2 - U(\boldsymbol{r}_1,\ldots,\boldsymbol{r}_N,t)

とおく。このとき、C2C^2 級曲線 t↦(r1(t),…,rN(t))t\mapsto (\boldsymbol{r}_1(t),\ldots,\boldsymbol{r}_N(t)) に対して次は同値である。

  1. LL のオイラー・ラグランジュ方程式をみたす。
  2. すべての ii について mir¨i=−∇iUm_i\ddot{\boldsymbol{r}}_i = -\nabla_i U をみたす（ニュートンの運動方程式）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 23 件、定義なども含めて 31 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。