接地導体平面と点電荷

定理 4.3（「静電場の境界値問題」§4）・ ✓公理まで証明済み

接地された（電位 $0$ の）無限に広い導体平面 $z=0$ の上方 $\boldsymbol{x}_q=(0,0,d)$ （ $d>0$ ）に点電荷 $q$ を置く。領域 $z>0$ での静電ポテンシャルは

V(\boldsymbol{x})=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{|\boldsymbol{x}-d\boldsymbol{e}_z|}-\frac{1}{|\boldsymbol{x}+d\boldsymbol{e}_z|}\right)

である。導体表面の誘導電荷密度は $\sigma(\rho)=-\dfrac{qd}{2\pi(\rho^2+d^2)^{3/2}}$ （ $\rho$ は原点からの距離）、総誘導電荷は $-q$ であり、電荷 $q$ に働く力は大きさ $\dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0(2d)^2}$ で導体平面に向かう引力である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 94 件、定義なども含めて 114 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

静電ポテンシャルの一意性定理✓定理 3.1・静電場の境界値問題
- グリーンの恒等式✓命題 2.2・静電場の境界値問題
  - 発散定理（ガウス・オストログラツキーの定理）✓定理 5.3・静電場とガウスの法則
    n 次元の発散定理✓補題 2.1・ラプラス方程式と調和関数この先をたどる →
    発散の直交座標表示✓命題 5.2・静電場とガウスの法則この先をたどる →
導体表面の境界条件✓補題 4.2・静電場の境界値問題
- ガウスの法則（積分形）✓定理 4.4・静電場とガウスの法則
  - 電場定義 3.3・静電場とガウスの法則
  - 立体角の補題✓補題 4.2・静電場とガウスの法則
    発散定理（ガウス・オストログラツキーの定理）✓定理 5.3・静電場とガウスの法則（上で展開済み）
  - フビニの定理（長方形上）✓定理 4.2・重積分と累次積分
    ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分この先をたどる →
    リーマンの可積分条件✓定理 3.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 1 件

接地導体球と点電荷✓定理 4.4・静電場の境界値問題

接地導体平面と点電荷

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

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