静電ポテンシャルの一意性定理

$\Omega$ を有界連結領域とし、$\rho$ を連続とする。

(a) ディリクレ問題。 $V_1,V_2\in C^2(\overline\Omega)$ がともに $\Delta V=-\rho/\varepsilon_0$ を満たし、$\partial\Omega$ 上で $V_1=V_2$ ならば、$\Omega$ 上で $V_1=V_2$ である。

(b) ノイマン問題。 $V_1,V_2\in C^2(\overline\Omega)$ がともに $\Delta V=-\rho/\varepsilon_0$ を満たし、$\partial\Omega$ 上で $\partial_nV_1=\partial_nV_2$ ならば、$V_1-V_2$ は $\Omega$ 上で定数である。

(c) 外部ディリクレ問題。 $\Omega$ が有界閉集合の補集合（連結）のとき、$V_1,V_2$ が $\Delta V=-\rho/\varepsilon_0$、境界 $\partial\Omega$ 上で $V_1=V_2$、かつ 定義 2.1 の減衰条件を満たすならば、$V_1=V_2$ である。