球のディリクレ問題（軸対称・有限展開）

定理 5.6（「静電場の境界値問題」§5）・ ✓公理まで証明済み

半径 $R$ の球面上の境界値が $f(\theta)=\sum_{l=0}^Nf_lP_l(\cos\theta)$ （ $f_l$ は実定数）であるとする。

(i) 球の内部 $r<R$ のラプラス方程式の（定義 2.1 の意味の）解は一意で

V_{\text{in}}(r,\theta)=\sum_{l=0}^Nf_l\Bigl(\frac rR\Bigr)^lP_l(\cos\theta) .

(ii) 球の外部 $r>R$ で、無限遠で減衰するラプラス方程式の解は一意で

V_{\text{out}}(r,\theta)=\sum_{l=0}^Nf_l\Bigl(\frac Rr\Bigr)^{l+1}P_l(\cos\theta) .

(iii) 係数は $f_l=\dfrac{2l+1}{2}\displaystyle\int_{-1}^1f\bigl(\arccos x\bigr)P_l(x)\,dx$ で与えられる。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 94 件、定義なども含めて 113 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

軸対称な分離解✓命題 5.5・静電場の境界値問題
- ルジャンドルの微分方程式✓命題 5.3・静電場の境界値問題
静電ポテンシャルの一意性定理✓定理 3.1・静電場の境界値問題
- グリーンの恒等式✓命題 2.2・静電場の境界値問題
  - 発散定理（ガウス・オストログラツキーの定理）✓定理 5.3・静電場とガウスの法則
    n 次元の発散定理✓補題 2.1・ラプラス方程式と調和関数この先をたどる →
    発散の直交座標表示✓命題 5.2・静電場とガウスの法則この先をたどる →
直交性と規格化✓命題 5.4・静電場の境界値問題
- ルジャンドルの微分方程式✓命題 5.3・静電場の境界値問題

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。