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波動方程式の中心差分と CFL 条件

系 3.4（「波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展」§3）・ ✓公理まで証明済み

1 次元の波動方程式 $u_{tt} = c^2u_{xx}$ の中心差分と leapfrog 法について、 $\nu = c\Delta t/h$ とおく。

区間 $(0,1)$ で両端 0（ $h = 1/M$ ）のとき、安定であるための必要十分条件は $\nu\sin\bigl((M-1)\pi/(2M)\bigr) \lt 1$ である。したがって $\nu \le 1$ ならすべての $M$ で安定であり、 $\nu \gt 1$ なら十分大きいすべての $M$ で不安定である。
周期境界で格子点の数 $N$ が偶数のとき、 $A$ は固有値 0（定数の格子関数）をもつ半正定値行列である。定数の成分を除いた部分（成分の和が 0 である出発値 $u^0$ 、 $u^1$ ）について、 $\sup_n\|u^n\| \lt \infty$ がつねに成り立つための必要十分条件は $\nu \lt 1$ である。 $\nu = 1$ のとき $u_j^n = (-1)^{j+n}n$ は解で、1 次で増大する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 21 件、定義なども含めて 23 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

leapfrog 法の安定条件✓定理 3.3・波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展
- スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理
  - 固有値の存在✓系 4.6・固有値と固有ベクトル
    特性多項式の次数と係数✓命題 4.3・固有値と固有ベクトル
    固有値の判定条件✓命題 3.3・固有値と固有ベクトルこの先をたどる →
  - エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理
    随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理この先をたどる →
  - 不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理
    随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理この先をたどる →
    正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - 直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化
    正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
    正規直交基底による展開✓定理 5.3・内積空間とグラム・シュミット直交化
  - ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理
    随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理この先をたどる →
- 3 項漸化式の解✓補題 3.2・波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展
3 項漸化式の解✓補題 3.2・波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

波動方程式の中心差分と CFL 条件

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）