3 項漸化式の解

補題 3.2（「波動方程式と Schrödinger 方程式の時間発展」§3）・ ✓公理まで証明済み

$\mu \gt 0$ とし、複素数列 $(y^n)_{n\ge0}$ が $y^{n+1} - (2 - \mu)y^n + y^{n-1} = 0$ （ $n \ge 1$ ）を満たすとする。

$0 \lt \mu \lt 4$ のとき、 $\cos\varphi = 1 - \mu/2$ で定まる $\varphi \in (0, \pi)$ について $y^n = y^0\cos n\varphi + \frac{y^1 - y^0\cos\varphi}{\sin\varphi}\sin n\varphi,\qquad |y^n| \le |y^0| + \frac{|y^1 - y^0\cos\varphi|}{\sin\varphi}.$
$\mu = 4$ のとき $y^n = (-1)^n\bigl(y^0 - n(y^0 + y^1)\bigr)$ 。 $y^1 \ne -y^0$ なら $|y^n| \to \infty$ （1 次の増大）。
$\mu \gt 4$ のとき、 $z = \frac12\bigl(2 - \mu - \sqrt{\mu^2 - 4\mu}\bigr)$ は $z \lt -1$ を満たす実数で、 $y^n = z^n$ は解である（幾何級数的な増大）。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。