leapfrog 法のシンプレクティック性

$A$ を $d$ 次の実対称行列とし、$\mathbb{R}^{2d}$ 上の写像 $\Phi_{\Delta t} : (q, p) \mapsto (q', p')$ を

で定める（速度 Verlet 法）。$(q^{n+1}, p^{n+1}) = \Phi_{\Delta t}(q^n, p^n)$ とする。

1. $q^n$ は leapfrog 法の式 $q^{n+1} - 2q^n + q^{n-1} = -\Delta t^2Aq^n$（$n \ge 1$）を満たす。
2. $\Phi_{\Delta t}$ は線形で、その行列は $J = \begin{pmatrix}0 & I\\ -I & 0\end{pmatrix}$ について $\Phi_{\Delta t}^{\mathsf T}J\Phi_{\Delta t} = J$ を満たし（シンプレクティック）、$\det\Phi_{\Delta t} = 1$、$\Phi_{-\Delta t} = \Phi_{\Delta t}^{-1}$（時間反転対称）である。
3. $d = 1$、$A = \omega^2$、$0 \lt \omega\Delta t \lt 2$ のとき、$q^n$ は振動数 $\tilde\omega = \frac{2}{\Delta t}\arcsin\frac{\omega\Delta t}{2}$ の調和振動 $q^n = a\cos\tilde\omega t_n + b\sin\tilde\omega t_n$ で、$p^2 + \omega^2\bigl(1 - \frac{\omega^2\Delta t^2}{4}\bigr)q^2$ は $\Phi_{\Delta t}$ で不変である。