Chebyshev 微分行列

命題 7.5（「スペクトル法」§7）・ ✓公理まで証明済み

$N \ge 1$ 、 $c_0 = c_N = 2$ 、 $c_j = 1$ （ $0 \lt j \lt N$ ）とする。

$j \ne l$ のとき $D_N$ の成分は $(D_N)_{jl} = \frac{c_j}{c_l}\cdot\frac{(-1)^{j+l}}{x_j - x_l}$ で、対角成分は $(D_N)_{jj} = -\sum_{l\ne j}(D_N)_{jl}$ である。
$N$ 次以下の多項式 $p$ は $p(\cos\theta) = \sum_{k=0}^{N}b_k\cos k\theta$ と書け、 $0 \lt \theta \lt \pi$ で $p'(\cos\theta) = \sum_{k=1}^{N}k\,b_k\sin k\theta/\sin\theta$ である。
端の点の間隔は $x_0 - x_1 = 2\sin^2(\pi/(2N)) \le \pi^2/(2N^2)$ である。
$\|D_N\|_\infty \ge N^2$ 、 $\|D_N^2\|_\infty \ge N^2(N^2-1)/3$ である。一方 $D_N^{N+1} = 0$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 17 件、定義なども含めて 18 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Chebyshev 多項式の導関数✓補題 7.3・スペクトル法
補間多項式の存在と一意性✓定理 2.2・多項式補間
- Vandermonde 行列式✓補題 2.1・多項式補間
  - 基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質
    行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質この先をたどる →
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質この先をたどる →
  - 余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質
    行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質この先をたどる →
    基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質（上で展開済み）
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質この先をたどる →
- 正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質
  - 余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質
    余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質（上で展開済み）
    行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質この先をたどる →
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質この先をたどる →
  - 線形独立・生成系・基底定義 5.1・ベクトル空間と線形変換
  - 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換
    取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
    次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質
    行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質この先をたどる →

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

Chebyshev 微分行列

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理

関連するノック 2 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）