物理学 › 不定計量とゲージ場の量子化 › 質量のあるベクトル場有料章

Gupta–Bleuler 三つ組の構造定理

定理 4.3（「質量のあるベクトル場」§4） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 21 件、定義なども含めて 24 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 三つ組の 1 粒子構造✓補題 4.2・質量のあるベクトル場

  • 半定値部分空間の等方部分✓系 2.4・Krein 空間と J 内積（上で展開済み）
  • J 直交補空間✓命題 4.2・Krein 空間と J 内積
  • 数作用素による相対評価✓定理 6.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素

    • 部分内積の性質✓補題 4.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素

      • $S_n$ と $A_n$ は直交射影✓定理 3.4・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間 この先をたどる →
    • 数作用素の基本性質✓命題 3.3・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素

      • 成分ごとの作用素の閉性と共役✓補題 2.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
      • 関数計算定義 6.1・スペクトル定理と関数計算
• 消滅作用素の共通の核✓補題 2.3・Gupta–Bleuler 形式の数学的構造
• Fock 空間の Krein 構造✓命題 6.1・Krein 空間と J 内積

  • Hilbert 空間と自己共役ユニタリから作る Krein 空間✓命題 3.5・Krein 空間と J 内積
• 半定値部分空間の等方部分✓系 2.4・Krein 空間と J 内積

  • 半定値部分空間の Cauchy–Schwarz 不等式✓命題 2.3・Krein 空間と J 内積
• Γ の関手性✓命題 3.2・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)

  • テンソル積の基本性質✓命題 2.2・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間

    • Hilbert 空間のテンソル積定義 3.2・Hilbert 空間のテンソル積と直積分
    • テンソル積上の内積✓命題 3.1・Hilbert 空間のテンソル積と直積分
    • 有界作用素のテンソル積✓命題 4.1・Hilbert 空間のテンソル積と直積分
    • L²(X)⊗L²(Y) ≅ L²(X×Y)✓定理 3.5・Hilbert 空間のテンソル積と直積分

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

• Lowenstein–Swieca 型の状態空間の物理的商✓定理 6.2・Coulomb ゲージのハミルトニアン形式
• 線形化重力の Gupta–Bleuler 型量子化✓定理 4.3・線形化重力の Krein 量子化
• 零ノルムのずれとゲージ変換✓命題 5.1・線形化重力の Krein 量子化
• Stueckelberg 場の物理的商は Proca 場に等しい✓定理 5.7・質量のあるベクトル場
• Stueckelberg 場の質量 0 極限と自由度の付け替え✓定理 6.4・質量のあるベクトル場