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線形漸化式の母関数と代入

定理 6.2（「漸化式と母関数」§6）・ ✓公理まで証明済み

$p,q,a_0,a_1$ を実数とし、 $(a_n)_{n\ge0}$ が $a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n$ を満たすとする。 $Q(x)=1-px-qx^2$ とする。

形式的冪級数環で $Q(x)\,G(x)=a_0+(a_1-pa_0)x$ 。 $Q$ は定数項が $1$ なので逆元をもち（逆元の存在（命題 2.2）［数え上げと母関数］）、 $G(x)=\dfrac{a_0+(a_1-pa_0)x}{Q(x)}$ 。
$\rho=|p|+|q|+1$ とする。実数 $x$ が $|x|<1/\rho$ を満たすなら、級数 $\sum_{n\ge0}a_nx^n$ は収束し、その和は $\dfrac{a_0+(a_1-pa_0)x}{1-px-qx^2}$ （分母は $0$ でない）に等しい。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 10 件、定義なども含めて 13 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

等比級数✓命題 6.2・数とは何か
- 数学的帰納法の原理✓定理 3.2・証明の技術
  - 背理法の正当性✓命題 6.2・証明の技術
  - 整列性公理 3.1・証明の技術
- アルキメデスの原理✓命題 5.4・数とは何か
  - 実数の連続性公理（上限性質）公理 5.1・数とは何か
比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定
- 有限個の項の変更・定数倍・和✓命題 3.2・級数と収束判定
- 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定
  - 単調有界定理✓定理 2.1・級数と収束判定
絶対収束すれば収束する✓定理 7.2・級数と収束判定
- 級数のコーシーの判定条件✓定理 3.8・級数と収束判定
  - 無限級数・部分和・和定義 3.1・級数と収束判定
- 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定（上で展開済み）

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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