Pell 方程式の解の構造

定理 7.4（「整数の性質 II」§7）・ ✓公理まで証明済み

$d\ge2$ を平方数でない整数とする。 $x^2-dy^2=1$ の正の整数解（ $x\ge1$ 、 $y\ge1$ ）のうち $x$ が最小のもの（定理 7.3 と整列性により存在する）を $(x_1,y_1)$ とし、 $\varepsilon=x_1+y_1\sqrt d$ とおく。各 $n\ge1$ について $\varepsilon^n=x_n+y_n\sqrt d$ （ $x_n,y_n$ は正の整数）とおくと、正の整数解は $(x_n,y_n)$ （ $n=1,2,\dots$ ）で尽くされ、互いに異なる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 17 件、定義なども含めて 21 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Pell 方程式の解の存在✓定理 7.3・整数の性質 II
- √d のよい近似分数はいくらでもある✓補題 7.2・整数の性質 II
  - 平方数でない自然数の平方根✓系 7.7・証明の技術（上で展開済み）
  - Dirichlet の近似定理✓補題 7.1・整数の性質 II
    アルキメデスの原理✓命題 5.4・数とは何か（上で展開済み）
    鳩の巣原理✓定理 7.5・数え上げと母関数（上で展開済み）
  - アルキメデスの原理✓命題 5.4・数とは何か
    実数の連続性公理（上限性質）公理 5.1・数とは何か
- 平方数でない自然数の平方根✓系 7.7・証明の技術
  - 素因数分解の指数による表示✓定理 5.2・整除と素因数分解
    ユークリッドの補題✓補題 4.1・素数の魅力と素数定理この先をたどる →
    算術の基本定理✓定理 4.2・素数の魅力と素数定理この先をたどる →
  - 付値の規則と gcd・lcm✓命題 5.3・整除と素因数分解
    素因数分解の指数による表示✓定理 5.2・整除と素因数分解（上で展開済み）
- 鳩の巣原理✓定理 7.5・数え上げと母関数
  - 非交和の性質✓命題 4.8・数学の国語
- 合同式の四則✓命題 3.3・合同式とフェルマーの小定理

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

Pell 方程式の解の構造

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）