球面平均の補題

補題 3.1（「電磁放射」§3）・ ✓公理まで証明済み

$f\in C^2(\mathbb{R}^3\times\mathbb{R})$ で、空間的に有界な台をもつとし、

M(\boldsymbol{x},r,s)=\frac{1}{4\pi}\int_{S^2}f(\boldsymbol{x}+r\boldsymbol{\omega},s)\,d\sigma(\boldsymbol{\omega})\qquad(r\ge0)

と定める。このとき (i) $M(\boldsymbol{x},0,s)=f(\boldsymbol{x},s)$ 、(ii) $r>0$ で $\partial_rM=\dfrac{1}{4\pi r^2}\displaystyle\int_{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|<r}\nabla^2f(\boldsymbol{y},s)\,dV_y$ で、とくに $r\to0$ で $\partial_rM=O(r)$ 、(iii) $\nabla_{\boldsymbol{x}}^2M=\dfrac{1}{r^2}\partial_r\bigl(r^2\partial_rM\bigr)$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 89 件、定義なども含めて 108 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

発散定理（ガウス・オストログラツキーの定理）✓定理 5.3・静電場とガウスの法則
- n 次元の発散定理✓補題 2.1・ラプラス方程式と調和関数
  - ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理
    外向きベクトルと誘導される向き定義 4.5・ストークスの定理
    フビニの定理（長方形上）✓定理 4.2・重積分と累次積分この先をたどる →
    チャート内での積分定義 5.1・ストークスの定理
  - 滑らかな切り落としと 1 の分割✓補題 2.3・Schwartz 空間と緩増加超関数
    軟化と稠密性✓補題 2.2・Schwartz 空間と緩増加超関数この先をたどる →
  - 滑らかな山型関数と軟化子✓補題 2.1・Schwartz 空間と緩増加超関数
- 発散の直交座標表示✓命題 5.2・静電場とガウスの法則
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
    ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - 一様連続性定義 6.1・極限と連続性

これを使っている定理証明で参照している 1 件

遅延ポテンシャル✓定理 3.2・電磁放射

球面平均の補題

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件