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連続の方程式

定理 2.3（「定常電流と静磁場」§2）・ ✓公理まで証明済み

$\rho$ と $\boldsymbol{J}$ を $\mathbb{R}^3$ 上の $C^1$ 級の関数とし、任意の有界領域 $V$ （境界 $\partial V$ は区分的に滑らかで、外向き法線をとる）について、電荷保存則

\frac{d}{dt}\int_V \rho\,dV = -\oint_{\partial V}\boldsymbol{J}\cdot d\boldsymbol{S}

が成り立つとする。このとき空間の各点で

\nabla\cdot\boldsymbol{J} + \frac{\partial\rho}{\partial t} = 0

が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 90 件、定義なども含めて 109 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

発散定理（ガウス・オストログラツキーの定理）✓定理 5.3・静電場とガウスの法則
- n 次元の発散定理✓補題 2.1・ラプラス方程式と調和関数
  - ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理
    外向きベクトルと誘導される向き定義 4.5・ストークスの定理
    フビニの定理（長方形上）✓定理 4.2・重積分と累次積分この先をたどる →
    チャート内での積分定義 5.1・ストークスの定理
  - 滑らかな切り落としと 1 の分割✓補題 2.3・Schwartz 空間と緩増加超関数
    軟化と稠密性✓補題 2.2・Schwartz 空間と緩増加超関数この先をたどる →
  - 滑らかな山型関数と軟化子✓補題 2.1・Schwartz 空間と緩増加超関数
- 発散の直交座標表示✓命題 5.2・静電場とガウスの法則
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
    ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - 一様連続性定義 6.1・極限と連続性
局所化補題✓補題 2.2・定常電流と静磁場

これを使っている定理証明で参照している 1 件

定常電流の条件✓系 2.5・定常電流と静磁場

関連するノック 2 問