回転数の定理（Hopf）

定理 6.1（「曲線と曲面」§6）・ ✓公理まで証明済み

$\gamma:[0,L]\to\mathbb{R}^2$ を、正の向きの区分的に正則な単純閉曲線（弧長パラメータ、角 $\varepsilon_i\in(-\pi,\pi)$ をもつ）とし、 $\theta$ を各滑らかな弧上での接線の偏角とする。このとき

\sum_j\int_{\text{弧}_j}\theta'\,ds+\sum_i\varepsilon_i=2\pi.

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 34 件、定義なども含めて 38 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

系 2.7✓基本群と被覆空間
- ホモトピー不変性✓命題 2.5・基本群と被覆空間
持ち上げ定理（lifting criterion）✓定理 5.1・基本群と被覆空間
- 持ち上げの一意性✓補題 3.5・基本群と被覆空間
  - 連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性
- 系 3.7✓基本群と被覆空間
  - ホモトピーの持ち上げ✓定理 3.6・基本群と被覆空間
    持ち上げの一意性✓補題 3.5・基本群と被覆空間（上で展開済み）
    Lebesgue 数✓補題 3.4・基本群と被覆空間この先をたどる →
Jordan の曲線定理✓定理 4.2・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理
- Jordan–Brouwer の分離定理✓定理 4.1・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理
  - 埋め込まれた円板と球面の補集合✓定理 3.1・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理
    ホモトピー同値は同型を与える✓系 4.2・特異ホモロジーこの先をたどる →
    特異鎖のコンパクト性✓補題 2.1・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理この先をたどる →
    球面のホモロジー✓定理 6.1・特異ホモロジーこの先をたどる →
  - 球面の開集合の成分✓補題 2.2・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理
    弧状連結ならば連結✓定理 7.3・連結性この先をたどる →
    H₀ と点のホモロジー✓命題 2.4・特異ホモロジー
  - H₀ と点のホモロジー✓命題 2.4・特異ホモロジー

これを使っている定理証明で参照している 1 件

局所 Gauss–Bonnet の定理✓定理 6.2・曲線と曲面

回転数の定理（Hopf）

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件