数学 › 微分積分学 › ベクトル解析と積分定理

発散の幾何学的意味

系 7.2（「ベクトル解析と積分定理」§7）・ ✓公理まで証明済み

$\boldsymbol F$ を $C^1$ 級とし、 $B_\rho$ を点 $a$ を中心とする半径 $\rho$ の球とする。

\mathrm{div}\,\boldsymbol F(a)=\lim_{\rho\to0}\frac{1}{|B_\rho|}\iint_{\partial B_\rho}\boldsymbol F\cdot\boldsymbol n\,dS

である。すなわち発散とは、単位体積あたりの湧き出し量の極限である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 13 件、定義なども含めて 18 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ガウスの発散定理✓定理 7.1・ベクトル解析と積分定理
- 縦線集合上の累次積分✓定理 5.6・重積分と累次積分
  - 一般の有界領域上の重積分と面積確定定義 5.1・重積分と累次積分
  - 連続関数のグラフは面積 0✓補題 5.2・重積分と累次積分
    ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分この先をたどる →
  - 面積 0 の集合の被覆による特徴づけ✓補題 5.3・重積分と累次積分
    ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分この先をたどる →
  - リーマンの可積分条件（ジョルダン版）✓命題 5.4・重積分と累次積分
    面積 0 の集合の被覆による特徴づけ✓補題 5.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
    有界閉長方形上の連続関数の一様連続性✓補題 3.1・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数この先をたどる →
    ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分この先をたどる →
  - フビニの定理（長方形上）✓定理 4.2・重積分と累次積分
    ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分この先をたどる →
    リーマンの可積分条件✓定理 3.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
- グラフ曲面の面積要素と流束✓命題 4.3・ベクトル解析と積分定理
  - 面積分定義 4.1・ベクトル解析と積分定理

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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