古典的 Jacobi 法の収束

定理 4.3（「対称固有値問題と特異値分解の計算」§4）・ ✓公理まで証明済み

$A_0 = A$ を $n$ 次実対称行列（ $n \ge 2$ ）とし、 $A_k$ の非対角成分のうち絶対値最大の $(p, q)$ （ $p < q$ ）を選んで補題 4.2 の回転で $A_{k+1} = J_k^{\mathsf{T}}A_kJ_k$ とする（ $\mathrm{off}(A_k) = 0$ なら止める）。このとき

\mathrm{off}(A_{k+1})^2 \le \Bigl(1 - \frac{2}{n(n-1)}\Bigr)\mathrm{off}(A_k)^2

であり、 $A_k$ の対角成分を大きい順に並べた $d_1^{(k)} \ge \cdots \ge d_n^{(k)}$ は $|d_i^{(k)} - \lambda_i(A)| \le \mathrm{off}(A_k)$ を満たす。とくに対角成分は固有値に収束する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 35 件、定義なども含めて 38 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

1 回の回転で減る量✓補題 4.2・対称固有値問題と特異値分解の計算
積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質
- 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質
  - 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
エルミート行列の固有値の摂動✓系 8.1・行列のノルムと線形方程式の条件数
- ワイルの固有値不等式✓定理 3.2・行列の固有値評価と不等式
  - クーラン・フィッシャーの最大最小原理✓定理 3.1・行列の固有値評価と不等式
    スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理この先をたどる →
    ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性この先をたどる →
    最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性この先をたどる →
    直和の判定と次元公式✓命題 5.2・双対空間と商空間この先をたどる →

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

古典的 Jacobi 法の収束

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理

関連するノック 2 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）