Golub–Kahan の三重対角行列

命題 6.5（「対称固有値問題と特異値分解の計算」§6）・ ✓公理まで証明済み

$B$ を定理 6.4 の $n$ 次上二重対角行列とする。 $2n$ 次の対称三重対角行列

T_{\mathrm{GK}} = \begin{pmatrix} 0 & d_1 & & & & \\ d_1 & 0 & e_1 & & & \\ & e_1 & 0 & d_2 & & \\ & & d_2 & 0 & \ddots & \\ & & & \ddots & \ddots & d_n \\ & & & & d_n & 0 \end{pmatrix}

（対角は $0$ 、副対角は $d_1, e_1, d_2, e_2, \ldots, e_{n-1}, d_n$ ）は、Jordan–Wielandt 行列 $C(B)$ を置換行列で並べ替えたもので、その固有値は $\pm\sigma_1(B), \ldots, \pm\sigma_n(B)$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 21 件、定義なども含めて 23 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Jordan–Wielandt の拡大行列✓定理 6.1・対称固有値問題と特異値分解の計算
- 特異値分解✓定理 4.1・行列の分解と標準形
  - スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理
    固有値の存在✓系 4.6・固有値と固有ベクトルこの先をたどる →
    エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理この先をたどる →
    不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理この先をたどる →
    直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
    ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理この先をたどる →
  - 正規直交基底の存在✓系 6.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
    グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
    直交系は一次独立✓命題 5.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
    有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

Golub–Kahan の三重対角行列

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）