不動点反復の局所収束と次数

$I$ を開区間、$g : I \to \mathbb{R}$ を $C^1$ 級、$x^* \in I$ を $g(x^*) = x^*$ を満たす点とする。

1. $|g'(x^*)| \lt 1$ ならば $\delta \gt 0$ があって、$x_0 \in [x^* - \delta, x^* + \delta]$ から作った $x_{k+1} = g(x_k)$ はこの区間にとどまり、$x^*$ に収束する。さらにすべての $k$ で $e_k \ne 0$ なら $e_{k+1}/e_k \to g'(x^*)$ である。とくに $g'(x^*) \ne 0$ なら 1 次収束で、漸近誤差定数は $|g'(x^*)|$ である。
2. $p \ge 2$ とし、$g$ が $C^p$ 級で $g'(x^*) = \cdots = g^{(p-1)}(x^*) = 0$ ならば、1 の $\delta$ について、すべての $k$ で $e_k \ne 0$ のとき $$\frac{e_{k+1}}{e_k^p} \to \frac{g^{(p)}(x^*)}{p!}$$ である。とくに $g^{(p)}(x^*) \ne 0$ なら $p$ 次収束で、漸近誤差定数は $|g^{(p)}(x^*)|/p!$ である。